Доказать что центры описанных окружностей

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

2 Comments

на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

Видео:Центр описанной окружности.Скачать

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: около АВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. АDС + АВС = 360 0 , тогда В + D = 360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE. (1)

Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE = ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD.

BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD + ВАD = 360 0 , тогда BАD + BСD360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что BАD + BСD180 0 . Но это противоречит условию BАD + BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 180 0 , откуда С = 180 0 — ( В + F). (2)

В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF. (3)

F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 180 0 , откуда F = 180 0 — ВFD = 180 0 — ВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

С = 180 0 — (ЕF + 180 0 — ВАD) = 180 0 — ЕF — 180 0 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD.

А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD). Но это противоречит условию А + С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Планиметрия. Страница 3

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать 1.Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1) ОА — радиус ВС — диаметр DE — хорда Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда. Видео:8. Ортоцентр и центр описанной окружности. РасстоянияСкачать 2.Окружность, описанная около треугольника Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника. Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно. Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника. Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать 3.Окружность, вписанная в треугольник Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов. Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3) Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ, Δ СОЕ = Δ СОК, Δ ВОК = Δ ВОТ. Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы. Следовательно: ∠ ЕАО = ∠ ТАО, ∠ ЕСО = ∠ КСО, ∠ КВО = ∠ ТВО. Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО. Пример 1 Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5) По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС. Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник. Видео:Центр описанной окружностиСкачать 4.Геометрическое место точек Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством. Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4). Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С. Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину. Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек. Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О. Пример 2 Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6) Доказательство: Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°. Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках. Рис.6 Задача. Касательная к окружности. Пример 3 Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7) Доказательство: Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°. Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой. Пример 4 Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8) Доказательство: Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1. Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°. Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1. Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1. Пример 5 Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9) Доказательство: По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые). Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС. Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а . 🔍 Видео Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать Найти центр кругаСкачать Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать Центр описанной окружностиСкачать Радиус описанной окружностиСкачать Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ ПрофильСкачать №200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать Задание 25 Вписанная и описанная окружностиСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности