Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Ваш ответ

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

решение вопроса

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,049
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказать: ΔABC -равнобедренный или прямоугольный

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на

пересечении серединных перпендикуляров к сторонам ΔАВС. Т.к.

О ∈ медиане, значит медиана и серединный перпендикуляр совпадают, т.е. треугольник равносторонний или равнобедренный (одна из медиан является серединным перпен-

дикуляром к основанию).

О — лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника ВО = АО = ОС.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №726
к главе «Глава VIII. Окружность. Дополнительные задачи».

Видео:ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикулярСкачать

ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равнобедренный треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равносторонний треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Прямоугольный треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Произвольный треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равнобедренный треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равносторонний треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Прямоугольный треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Произвольный треугольник
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Равнобедренный треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Равносторонний треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЕсли в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане– полупериметр (рис. 6).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

с помощью формулы Герона получаем:

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Если в треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎦 Видео

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Прямая ЭйлераСкачать

Прямая Эйлера

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

ОГЭ | Математика | Задача с медианой треугольника #огэ #математика #репетитор #геометрияСкачать

ОГЭ | Математика | Задача с медианой треугольника #огэ #математика #репетитор #геометрия

МЕДИАНА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

МЕДИАНА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ
Поделиться или сохранить к себе: