В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
а) Лучи 
и 
являются биссектрисами равных углов HAC и HCB соответственно. Значит, 
то есть прямые и 
перпендикулярны.
б) Пусть прямая AB касается окружностей, вписанных в треугольники ACH и BCH, в точках K и L соответственно. Получаем:
Поскольку 
и 
— квадраты, получаем: 
Значит, площадь четырёхугольника 
равна
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Пункт а) можно решить без вычислений. Повернём треугольник CHA вокруг точки Н на угол 90° и совместим точки А и С. Тогда лучи АO1 и СО2 совпадут, поскольку являются биссектрисами равных углов, а значит, угол между ними до поворота был 90°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать  В прямоугольном треугольнике проведенаЗадание 6. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 19°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. Так как биссектриса делит угол пополам, то угол ACD будет равен
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине основания, на которую она проведена. То есть треугольник ADC равнобедренный с равными сторонами AD=DC. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, то есть угол A равен углу ADC и он является меньшим углом в треугольнике. Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать  Свойства высоты прямоугольного треугольникаВ данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме. Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть Видео:№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкуСкачать  Свойства высоты в прямоугольном треугольникеСвойство 1В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.
Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла. Свойство 2Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла. Свойство 3Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.
Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC. Свойство 4В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом: 1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:
2. Через длины сторон треугольника:
Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :
Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”. Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать  Пример задачиЗадача 1 Решение
Задача 2 Решение Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше: 📺 ВидеоДоказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать  Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать  Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать  Геометрия В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого углаСкачать  ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать  Угол 30 градусов в прямоугольном треугольникеСкачать  Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать  Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать  Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать  Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать  Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать  Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать  Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать  МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 классСкачать  В прямоугольном треугольнике проведена высота из прямого углаСкачать  Про высоту в прямоугольном треугольникеСкачать  |
.
