В параллелограмм вписаны две равные окружности

а) В параллелограмме (ABCD) расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон (AD), (AB) и (BC), вторая сторон (AD), (CD) и (BC).
б) Пусть (ABCD) – прямоугольник, а прямая (l) касается окружностей в точках (M) и (N). Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках (M), (N) и в центрах окружностей, если (AD=36), а расстояние между центрами окружностей равно (20).

а) В параллелограмме (ABCD) расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон (AD), (AB) и (BC), вторая сторон (AD), (CD) и (BC).

1) У параллелограмма точка пересечения диагоналей – это точка, в которой диагонали делятся пополам.

2) Диагональ и касательная (l) обязательно пересекаются в какой-то точке, поскольку очевидно не параллельны. Значит, если доказать, что касательная делит диагональ пополам, то можно говорить о том, что касательная проходит через точку пересечения диагоналей.

3) Как же доказать, что (AK=KC)? Один из самых популярных способов доказать, что отрезки равны – доказать равенство треугольников, в которых эти отрезки являются, например, сторонами. В нашем случае это (∆AKF) и (∆EKC).

4) Как доказать, что (∆AKF=∆EKC)? С углами всё хорошо — все три пары углов в этих треугольниках равны либо как вертикальные, либо как накрест лежащие. А вот со сторонами сложнее. Нужно доказать либо (EK=KF), либо (AF=EC).

5) Есть ощущение, что (AH_1=H_2 C) и (EH_2=H_1 F). Но ощущений маловато, нужно что-то посерьезнее… Вспомним, что это отрезки касательных, а где есть касание, там зачастую правильным действием будет провести радиус в точку касания. И соединим еще центры окружностей с (F) и (E), чтоб получились треугольники.

6) Можно ли доказать, что (∆O_1 FH_1=∆O_2 EH_2)? Есть прямые углы между радиусами и сторонами параллелограмма (ведь эти стороны – касательные к окружности). Есть радиусы, и они равны, так как по условию задачи окружности равные. Нужно равенство еще одной пары сторон или углов.

7) Попробуем доказать, что (∠H_1FO_1=∠H_2 EO_2).
Заметим, что (∠AFE=∠FEC) как накрест лежащие. При этом окружность с центром (O_1) вписана в угол (AFE), то есть (FO_1) – биссектриса. И с (EO_2) аналогично! Тогда получается, то (∠H_1 FO_1=∠H_2 EO_2) как половинки от равных углов (∠AFE=∠FEC)!

8) Супер! Последний кусочек найден, теперь можно собирать весь паззл.
(∆O_1 FH_1=∆O_2 EH_2) по катету и острому углу: (∠H_1 FO_1=∠H_2 EO_2), (O_1 H=O_2 H) как радиусы. Значит (H_1 F=EH_2).

9) Аналогично можно доказать равенство (∆O_1 H_1 A=∆O_2 H_2 C) из которого сделать вывод (AH_1=H_2 C).

10) (AF=AH_1+H_1 F=H_2 C+EH_2=EC),
(∠KAF=∠KCE) (как накрест лежащие),
(∠KFA=∠KEC) (аналогично).
Следовательно, (∆AKF=∆EKC), а значит и (AK=KC).

11) Получается касательная проходит через середину диагонали, а значит и через точку пересечения диагоналей.

1) Обозначим точку пересечения касательной (l) и диагонали (AC) как (K), точки касания окружностями сторон параллелограмма — (H_1) и (H_2), точки пересечения касательной и сторон параллелограмма — (E) и (F).

2) (∠H_1 FO_1=∠H_2 EO_2): (∠AFE=∠FEC) как накрестлежащие, (FO_1) и (EO_2) – биссектрисы по свойству вписанной окружности, значит (∠H_1 FO_1=frac∠AFE=frac∠FEC=∠H_2 EO_2).

3) Радиусы двух окружностей равны, так как окружности равные по условию задачи.

4) (∆O_1 FH_1=∆O_2 EH_2) по катету и острому углу: (∠H_1 FO_1=∠H_2 EO_2), (O_1 H_1=O_2 H_2) (как радиусы), (∠O_1 H_1 F=∠O_2 H_2 E=90^°) (как углы между касательными и радиусами, проведенными в точку касания). Значит (H_1 F=EH_2).

5) Аналогично можно доказать равенство (∆O_1 H_1 A=∆O_2 H_2 C) из которого сделать вывод (AH_1=H_2 C).

6) Таким образом имеем: (AF=AH_1+H_1 F=H_2 C+EH_2=EC), (∠KAF=∠KCE), (∠KFA=∠KEC) (как накрест лежащие). Следовательно, (∆AKF=∆EKC), а значит (AK=KC).

7) Точка пересечения диагоналей параллелограмма – это их общая середина, а т.к. касательная (l) проходит через середину (AC), то она проходит и через точку пересечения диагоналей.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть (ABCD) – прямоугольник, а прямая (l) касается окружностей в точках (M) и (N). Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках (M), (N) и в центрах окружностей, если (AD=36), а расстояние между центрами окружностей равно (20).

1) (MN) — касательная, (O_1 M) — радиус. Значит угол между ними — (90^°). Получается (∆MNO_1) прямоугольный. Треугольник (∆MNO_2) точно такой же, и если найти его площадь, то можно будет умножить её на (2) и найти площадь всего четырехугольника.

2) Давайте проведем радиусы к нижней стороне и к боковым сторонам прямоугольника.

3) Очевидно, что получилось два равных квадрата и их стороны можно найти: (AT=LD=frac=frac=8). Тогда радиус тоже равен (8).

4) Заметим, что (O_2 N∥O_1 M) (ведь они оба перпендикулярны одной и той же прямой MN) и (O_2 N=O_1 M), следовательно (O_1 MO_2 N) – параллелограмм. А значит диагонали точкой пересечения делятся пополам и (O_2 K=fracO_1 O_2=10).

5) Получается (KN=sqrt=6), а (MN=6cdot 2=12).

6) (S_=frac MNcdot MO_1=fraccdot 12cdot 8=48).

1) (O_2 N⊥MN) и (O_1 M⊥MN) как радиусы, проведенные в точку касания. Значит (O_2 N∥O_1 M). К тому же, (O_2 N=O_1 M) как радиусы равных окружностей. Следовательно, (O_1 MO_2 N) – параллелограмм.

2) (O_1 O_2) и (MN) — диагонали в параллелограмме, то есть они точкой пересечения делятся пополам. Значит (O_1 K=KO_2=frac O_1 O_2=10).

3) Проведем из центров окружностей четвре радиуса к сторонам прямоугольника в точки касания, получились два четырехугольника: (VO_1 TA) и (O_2 SDL). (∠O_1 VA=∠ATO_1=∠VAT=90^°) и (VO_1=O_1 T) (как радиусы), следовательно, (VO_1 TA) квадрат. Аналогично доказывается, что (O_2 SDL) квадрат, причем (VO_1 TA=O_2 SDL), так как стороны их равны радиусам.

4) (O_1 O_2 LT) – прямоугольник: (O_1 T=O_2 L) (радиусы) и (∠O_1 TL=∠O_2 LT=90^°), следовательно, (O_1 T∥O_2 L). Значит (TL=O_1 O_2=20).

5) (AD=AT+TL+LD),
(AT=LD) (стороны равных квадратов).
Тогда (AT=LD=frac=frac=8).
Следовательно, радиусы окружностей тоже равны (8).

6) Рассмотрим (∆O_2 KN) – прямоугольный.
(KN=sqrt=sqrt=6).
(MK=KN), т.к. (K) – точка пересечения диагоналей.
(MN=2KN=12).

7) (∆O_1 MN=∆O_2 MN) (т.к. (O_1 MO_2 N) – параллелограмм), следовательно, (S_=S_), а значит (S_=2S_).
(∆O_1 MN) – прямоугольный ((∠O_1 MN=90^°)), значит (S_=frac MNcdot MO_1=fraccdot 12cdot 8=48).
(S_=2S_=96).

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

В параллелограмм вписаны две равные окружности

В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая — сторон AD, CD и BC.

а) Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

б) Пусть ABCD — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD = 36 , а расстояние между центрами окружностей равно 20.

а) Пусть O — точка пересечения диагонали AC параллелограмма с общей внутренней касательной l к данным окружностям, P и Q — точки пересечения прямой l со сторонами AD и BC соответственно. Достаточно доказать, что O — середина диагонали AC.

Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей соответственно. Первая окружность касается стороны AD в точке K, вторая окружность касается стороны BC в точке L.

Лучи AO₁ и CO₂ — биссектрисы равных углов BAD и BCD, значит, прямоугольные треугольники AKO₁ и CLO₂ равны по катету (радиусы равных окружностей) и противолежащему острому углу. Тогда AK = CL. Аналогично KP = LQ. Следовательно,

Значит, треугольники AOP и COQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AO = OC, а точка O — середина диагонали AC, то есть центр параллелограмма ABCD.

б) Поскольку ABCD — прямоугольник, его сторона AD равна сумме диаметра окружности и отрезка O₁O₂, то есть 2r + O₁O₂ = AD, 2r + 20 = 36, следовательно, r = 8.

Четырёхугольник O₁MO₂N — параллелограмм, так как его противоположные стороны O₁M и O₂N равны и параллельны. Диагонали O₁O₂ и MN параллелограмма O₁MO₂N пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Площадь параллелограмма O₁MO₂N в четыре раза больше площади треугольника OO₁M, в котором По теореме Пифагора

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать В параллелограмм ABCD вписаны две окружности равных Радиусов, внешне касающихся друг другу? Геометрия | 5 — 9 классы В параллелограмм ABCD вписаны две окружности равных Радиусов, внешне касающихся друг другу. Каждая окружность касается трёх сторон параллелограмма. Каковы стороны параллелограмма, если его периметр равен 24 а радиус окружности равен равен один. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны)) если их обозначить (х), то оставшаяся часть стороны (а) будет (а — х) это позволит оценить сторону (b) : противоположные углы параллелограмма равны, центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной)) в противоположных углах параллелограмма получатся равные (по катету и прилежащему острому углу) прямоугольные треугольники. Видео:Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. РадиусСкачать Периметр параллелограмма равен 28 см? Периметр параллелограмма равен 28 см. Одна сторона равна 8 см. Найдите другую сторону параллелограмма. Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Периметр прямоугольного треугольника равен 36, а радиус вписанной в него окружности равен 3, 5? Периметр прямоугольного треугольника равен 36, а радиус вписанной в него окружности равен 3, 5. Чему равен радиус описанной окружности? Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать Периметр прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, равен 44, а большая из боковых сторон равна 14? Периметр прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, равен 44, а большая из боковых сторон равна 14. Найти радиус окружности. Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать Периметр параллелограмма равен 72см, одна из сторон в 5 раз меньше другихНайти стороны параллелограмма? Периметр параллелограмма равен 72см, одна из сторон в 5 раз меньше других Найти стороны параллелограмма. Видео:Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов за вершины острых углов, равен 18? Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов за вершины острых углов, равен 18. Найти больший катет треугольника. Видео:Интересный штрих) параллелограмма ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга? Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга. Найдите расстояние между их центрами, когда они касаются внешне и касаются внутренне. Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Две окружности радиусом 10см и 6 см внешне касаются друг друга? Две окружности радиусом 10см и 6 см внешне касаются друг друга. Найдите расстряние между центрами этих окружностей. Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать Площадь параллелограмма ABCD , вписанного в окружность , равен 48градусов ? Площадь параллелограмма ABCD , вписанного в окружность , равен 48градусов . Найдите угол C этого четырёхугольника . Видео:№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать Периметр прямоугольного треугольника равен 50, а радиус вписанной в него окружности равен 4? Периметр прямоугольного треугольника равен 50, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Чему равен радиус описанной окружности? Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать Две окружности с центрами P и K касаются прямой s в различных точках, а также касаются друг друга? Две окружности с центрами P и K касаются прямой s в различных точках, а также касаются друг друга. Чему равно отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей, если синус угла между прямыми PK и s равен 1 / 21? На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос В параллелограмм ABCD вписаны две окружности равных Радиусов, внешне касающихся друг другу?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию. 24 — ответ, т. К. : диагонали пересекают среднюю линию трапеции в двух точках, получаются всего 3 отрезка по 6 см. Однако средняя линия трапеции геометрически совпадает со средней линией каждого из треугольников, образованного основанием, боковой с.. Рассмотрим треугольник ACH (H — точка перес АВ и СН) — треугольник прямоугольный — угол НСА 45градусов. След. На оставшися угол остаётся 45градусов. Сдел треугольник р / б и СН = АН = 4см (так же доказыешь второй треугольник, или можешь сказать, ч.. МК может быть равным 15 + 18 = 33см если точка К лежит по одну сторону с точкой NМК может быть равно 18 — 15 = 3см если точка N лежит между точками М и К. Решение задания смотри на фотографии. F = m * g (g = 10H / кг) F = 2кг * 10H / кг. = 20H A = F * S A = 20H * 15м. = 300 Дж (джоулей) = 3 гДж Ответ : 3 гДж. Отрезок 11 на 9 Ресунок с циркулем (). KM = AC подобные P = a + b + c Lm = 60 — 35 = 25 Ответ : 25. На рисунке достроены треугольники , чтобы лучше понять . Построй эти точки как то так. Меньшая сторона первого треугольника ровна 6 значит во втором треугольники она будет ровна 4. Чтобы найти периметр нужно все стороны сложить 9 + 7 + 4 = 20. 🎬 Видео Г: В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45о, и стороной AD = 10√2 вписана окружность. НайдитеСкачать Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать 17 задание ЕГЭ математика профильСкачать Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности