В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Радиус окружности равен 20. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугуОтвет дайте в градусах.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугуОтвет дайте в градусах.

По теореме синусов для треугольника ACB имеем:

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Хорды и дуги

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: (breve = breve).

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками Aи В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет, а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, (breve > breve).

Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами

Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Требуется доказать, что (breve = breve). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.

Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).

Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда (breve = breve).

Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой

Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.

Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Требуется доказать, что (breve = breve).

Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.

OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.

Следовательно, (breve = breve).

Видео:ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, breve = breve, breve = breve $$

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ breve = breve $$
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ breve = breve; breve = breve $$

Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что

Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы (breve) = (breve), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

ГДЗ по геометрии 9 класс Зив дидактические материалы Контрольные работы К-4. Варианты — 2

Издательство: Просвещение 2015

Тип: Дидактические материалы

Подробный решебник (ГДЗ) по Геометрии за 9 (девятый) класс дидактические материалы — готовый ответ Контрольные работы К-4. Варианты — 2. Авторы учебника: Зив. Издательство: Просвещение 2015.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Похожие ГДЗ

В окружности радиуса 1 хорда стягивающая некоторую дугу

ГДЗ Задачник геометрия 7-11 класс Зив Б.Г.

К—4 Вариант 2 1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 8я. Найдите площадь кольца и площадь треугольника. 2. Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу в 60°. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора. 3. На рисунке 57 хорды CD и СН стягивают дуги в 90°. Радиус окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры. с 4*. На сторонах правильного 8-угольника А1А2. А8 вне его построены квадраты. Докажите, что многоугольник, образованный вершинами этих квадратов, отличных от Ах, А2, А3, . Ag, является правильным. Рис. 57

📸 Видео

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Равные хорды, равные дугиСкачать

Равные хорды, равные дуги

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающиеСкачать

Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

ОГЭ Задание 16. Окружность, хорды, дуги, вписанные и центральные углыСкачать

ОГЭ Задание 16. Окружность, хорды, дуги, вписанные и центральные углы

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.
Поделиться или сохранить к себе: