Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Содержание
  1. Построение отрезка, равного данному
  2. Деление отрезка пополам
  3. Построение угла, равного данному
  4. Построение перпендикулярных прямых
  5. Пример 1
  6. Пример 2
  7. Построение параллельных (непересекающихся) прямых
  8. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность
  9. Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность
  10. Вариант 1
  11. Вариант 2
  12. Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника
  13. Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность
  14. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  15. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  16. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  17. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  18. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  19. 🎬 Видео

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O1 — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО1 и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O1CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

Построение 8 угольника циркулем

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Видео:Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуляСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуляФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуляВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулем

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Равнобедренный треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Равносторонний треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Прямоугольный треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Произвольный треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Равнобедренный треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Равносторонний треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Прямоугольный треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля
Произвольный треугольник
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля.

Равнобедренный треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Равносторонний треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля– полупериметр (рис. 6).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

с помощью формулы Герона получаем:

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Вписанная и описанная окружность в треугольник с помощью циркуля

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

🎬 Видео

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: