Обозначение сторон треугольника маленькими буквами

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак . Так, запись ABC будет читаться: треугольник ABC .

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок BN — это биссектриса ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок BN — это медиана ABC.

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

(по соотношению сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) — периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• a b – c;
• b a – c;
• c a – b.

Треугольник Обозначения в треугольнике Виды треугольников Основные свойства треугольников Конгруэнтные (равные) треугольники Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Свойства подобных треугольников

Подобие в прямоугольных треугольниках Теорема Пифагора Теорема синусов Теорема косинусов Медиана Биссектриса Высота треугольника Срединный перпендикуляр Средняя линия треугольника Формулы площади треугольника, в т.ч. Герона Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников.

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

1. S=(1/2)*(a* h_a) — по стороне и высоте.
2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
3. — по длинам сторон — формула площади Герона
4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности

Прямоугольный треугольник — площадь

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

Равносторонний (правильный) треугольник — площадь

Примечание — в прямоугольном треугольнике:

— Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

— Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

— Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

— Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Обозначение сторон треугольника маленькими буквами

§ 15. ТРЕУГОЛНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ

1. Треугольник обозначается тремя заглавными буквами, стоящими при его вершинах. Для сокращения записи слов «треугольник» заменяют знаком / . Треугольник, изображённый на чертеже 111, можно записать так: / АВС.

Сторону треугольника принято обозначать той же буквой, что и вершину угла, противолежащего этой стороне, но малой буквой.

Так, например, на чертеже 112 сторона ВС обозначена буквой а, так как она лежит против угла А; сторона СА обозначена буквой b, так как она лежит против угла В; сторона АВ обозначена буквой с, так как она лежит против угла С.

Если продолжим какую-нибудь сторону треугольника, то получим угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Такой угол называется внешним углом треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два внешних угла (черт. 113).

2. Если из какой-либо вершины треугольника опустим перпендикуляр на противоположную сторону, то получим отрезок, который называется высотой треугольника (черт. 114).

Сторону треугольника, к которой проведена высота, принимают за основание треугольника.

Высота может быть проведена к любой стороне треугольника. Иногда высота треугольника пересекает не само основание треугольника, а его продолжение. Так, на чертежах 115 и 116 высоты AD и ЕМ пересекают продолжения оснований ВС и FK.

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Если аккуратно провести все высоты треугольника, то можно заметить, что все высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (черт. 117, 118).

Если же высоты или их продолжения пересекутся не в одной точке, то можно с уверенностью сказать, что чертёж сделан неточно.

Высота треугольника обозначается буквой h, к которой присоединяется обозначение той стороны, к которой она проведена: h_a, h_b, h_c, (черт. 117).

3. Если соединить какую-нибудь вершину треугольника с серединой противолежащей ей стороны, то получим отрезок, который называется медианой треугольника (черт. 119). Медиана обозначается буквой т, к которой присоединяется обозначение той стороны, к середине которой она проведена: m_a, m_b, m_c (черт. 120).

В каждом треугольнике можно провести три медианы. Если проводить их аккуратно, то в любом треугольнике медианы пересекутся в одной точке (черт. 120).

4. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны называется биссектрисой треугольника. Биссектриса обозначается буквой l, к которой присоединяется обозначение угла, из вершины которого она проведена: l_A, l_B, l_C (черт. 121), Биссектрисы треугольника (так же как высоты и медианы) пересекаются в одной точке (черт. 121).

Стороны и углы треугольника, а также его высоты, медианы, биссектрисы называются элементами треугольника. Слово «элемент» значит «составная часть».

1. Начертить несколько треугольников и провести в каждом из них с помощью чертёжного треугольника по три высоты.

2. Начертить несколько треугольников и провести в каждом из них по три медианы.

3. Начертить несколько треугольников и провести в каждом из них по три биссектрисы.

🔥 Видео