В окружность вписан ромб найти угол (6 видео)

Углы ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти углы ромба по известным элементам. Для нахождения углов ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Содержание

1. Углы ромба через сторону и высоту
2. Углы ромба ромба через площадь и высоту
3. Углы ромба через площадь и сторону
4. Углы ромба через диагонали
5. Углы ромба через сторону и диагональ
6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности
Радиус и угол ромба
Свойства
В окружность вписан ромб найти угол
🔍 Видео

Видео:№539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственноСкачать

1. Углы ромба через сторону и высоту

Пусть известны сторона и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что углы ромба через сторону и высоту вычисляются по формулам

( small alpha= mathrmfrac )

(1)

( small beta= 180°-alpha )

(2)

(small frac=frac.)

(3)

(small sin alpha=frac)

(4)

(small alpha=mathrmfrac)

(5)

Поскольку сумма соседних углов ромба равна 180° (свойство 4 статьи Ромб), то угол β вычисляется из формулы (2).

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

2. Углы ромба ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что углы ромба через площадь и высоту вычисляются по формулам:

( small alpha= mathrmfrac, )

(6)

( small beta= 180°-alpha . )

(7)

Площадь ромба через сторону и высоту вычисляется из формулы:

( small S=a cdot h. )

(8)

Найдем a из формулы (8) и подставим в (1):

( small alpha= mathrmfrac=mathrmfrac<large frac~~> ) ( small =mathrmfrac )~~

(9)

Как отметили в параграфе 1, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

3. Углы ромба через площадь и сторону

Пусть известны площадь и сторона ромба (Рис.3).

Чтобы найти формулу углов ромба через площадь и сторону, из формулы (8) найдем h и подставим в (1):

( small alpha= mathrmfrac=mathrmfrac<large frac~~> ) ( small =mathrmfrac .)~~

Следовательно угол α ромба через площадь и сторону вычисляется из формулы:

( small alpha =mathrmfrac. )

(10)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

Видео:№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать

4. Углы ромба через диагонали

Пусть известны диагонали d₁ и d₂ ромба (Рис.4). Выведем формулу вычисления углов α и β ромба.

(small h=frac<large sqrt>.)

(11)

(small a=frac<large sqrt>.)

(12)

Подставляя (11) и (12) в (4), получим:

(small sin alpha=frac) ( small =frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>> ) ( small =frac .)

(13)

(small alpha=mathrm frac .)

(14)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

5. Углы ромба через сторону и диагональ

Пусть известны сторона a=AB ромба и диагональ d=AC (Рис.5).

Найдем углы ромба. Учитывая свойства 5, 6 и 7 ромба, получаем, что треугольник AOB прямоугольный и ( small angle ABO =frac .) Тогда для треугольника AOB имеют места следующие равненства:

(small frac=sin frac,)

(small frac=cos frac)

(small sin frac=frac)

(15)

(small cos frac=frac.)

(16)

Формулы половинного угла для синуса и косинуса имеют следующий вид:

(small sin frac=±sqrt<frac>,)

(17)

(small cosfrac=±sqrt<frac>.)

(18)

Найдем из формул (17),(18) ( small cos alpha ) и ( small cos beta: )

(small cos alpha=1-2cdot sin^2 frac,)

(19)

(small cos beta=2cdot sin^2 frac-1,)

(20)

Подставляя (15),(16) в (19),(20), получим формулы углов ромба через сторону и диагональ:

(small cos alpha=1- frac,)

(21)

(small cos beta=frac-1.)

(22)

(small alpha=mathrm left(1- frac right),)

(23)

(small beta=mathrm left( frac-1 right).)

(24)

Отметим, что полученный угол α находится напротив диагонали d, а угол β делится диагональю d на две равные части.

Видео:Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности

Пусть известны сторона ромба и радиус вписанной окружности (Рис.6). Найдем углы ромба.

В статье Высота ромба мы вывели формулу высоты ромба через радиус вписанной октужности:

(small h=2 cdot r.)

(25)

Подставляя (25) в (4) и (5) параграфа 1 данной статьи, получим:

(small sin alpha=frac)

(26)

(small alpha=mathrmfrac)

(27)

Как отметили выше, соседний угол β ромба вычисляется по формуле:

Видео:Геометрия В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найти радиусСкачать

Радиус и угол ромба

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Свойства

Радиус вписанной окружности, представляющий собой половину высоты, теоретически участвует в образовании прямоугольного треугольника, из которого можно найти сторону ромба, как отношение удвоенного радиуса к синусу угла α. a=2r/sin⁡〖α 〗

Высота ромба будет равна удвоенному радиусу вписанной окружности. Площадь, ка произведение высоты и стороны ромба, через радиус вписанной окружности и угол α будет представлена произведением соответствующих выражений. Чтобы вычислить периметр, нужно будет эквивалент стороны умножить на четыре. h=2r S=(4r^2)/sin⁡〖α 〗 P=8r/sin⁡〖α 〗

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

В окружность вписан ромб найти угол

Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Имеем:

Тогда

Высота делит сторону на два отрезка, и в ответе требуется указать длины обоих отрезков. Длина первого отрезка 17, и длина второго отрезка 17, поэтому ответ 1717.

Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Пусть a сторона ромба, h — его высота. Все стороны ромба равны, поэтому Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту:

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

Проведём диагональ OQ Рассмотрим треугольник OQR, OQ и OR равны как радиусы окружности. Все стороны ромба равны, поэтому OR = QR, получаем, что OQ = QR = OR, следовательно, треугольник OQR — равносторонний, поэтому все его углы, в том числе и угол ORQ, равны 60°.

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV — ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах.

Проведём диагональ TO Рассмотрим треугольник OTV, TO и OV равны как радиусы окружности. Все стороны ромба равны, поэтому TV = OV, получаем, что OV = TV = TO, следовательно, треугольник OTV — равносторонний, поэтому все его углы, в том числе и угол OTV, равны 60°. Аналогично, треугольник STO — равносторонний и угол STO равен 60°. Таким образом, угол STV равный сумме углов STO и OTV равен 120°.