В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны.

2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

2) «В любой четырёхугольник можно вписать окружность» — неверно, поскольку в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника» — верно, по свойству треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС.

Доказать: около В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Точка О равноудалена от вершин В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАDС, В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС, откуда следует В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАDС + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет(В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАDС + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАDС + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетАВС = 360 0 , тогда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВСDвнешний угол В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетСFD, следовательно, В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВFD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВFD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD и В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетFDE = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет(В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF), следовательно, В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВСDВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВЕD, тогда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСDВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет(В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВЕD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВЕD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD = 360 0 , тогда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСDВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСDВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет180 0 . Но это противоречит условию В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBАD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

По теореме о сумме углов треугольника в В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВСF: В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетС + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетF = 180 0 , откуда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетС = 180 0 — ( В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетF). (2)

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF. (3)

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетF и В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВFD смежные, поэтому В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетF + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВFD = 180 0 , откуда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетF = 180 0 — В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВFD = 180 0 — В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетС = 180 0 — (В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF + 180 0 — В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD) = 180 0 — В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF — 180 0 + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет(В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАDВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетЕF), следовательно, В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетСВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетА = В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВЕD, тогда В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетА + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетСВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВ любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет(В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВЕD + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетВАD). Но это противоречит условию В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетА + В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нетС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

В любой четырехугольник можно описать окружность верно или нет

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

📸 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯСкачать

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯ

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | МатематикаСкачать

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | Математика

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать

Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанная и описанная окружность в четырехугольник.Скачать

Вписанная и описанная окружность  в четырехугольник.
Поделиться или сохранить к себе: