В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольникаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольникаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольникаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Равнобедренный треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Равносторонний треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Прямоугольный треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Произвольный треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Равнобедренный треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Равносторонний треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Прямоугольный треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
Произвольный треугольник
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника.

Равнобедренный треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Равносторонний треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВ каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математике #6Скачать

Задание 16 ЕГЭ по математике #6

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника– полупериметр (рис. 6).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

с помощью формулы Герона получаем:

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

то, в случае равностороннего треугольника, когда

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки

Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.

Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольникаДано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

2) По формуле Герона,

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольникаДано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

1) По свойству касательных, проведенных из одной точки, AF=AK=24 см, BM=BK=5 см, CF=CM= x см.

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Следовательно, CM=CF=1 см, AB=AK+BK=29 см, BC=BM+CM=6 см, AC=AF+CF=25 см.

2) Полупериметр равен половине периметра: p=60:2=30 см.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Вписанная окружность

В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
    • Четырехугольник
      В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника
    • Многоугольник
      В каком отношении делит вписанная окружность стороны треугольника

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    📹 Видео

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать

    ЕГЭ по математике. Задание №16 #11

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    6.31.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

    6.31.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

    11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!Скачать

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!

    Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

    Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.
    Поделиться или сохранить к себе: