В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета длины стороны правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Расчет длины стороны
Инструкция по использованию: введите радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности, укажите количество вершин правильного многоугольника (n), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина стороны фигуры (a).
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….
Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать
Признаки и свойства фигуры
Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:
- Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
- Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
- Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
- Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
- Является частным случаем равнобедренного треугольника.
Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. 
Равносторонний треугольник
Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:
- Средняя линия, которая делит две боковые стороны пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается.
- Сумма всех его углов не превышает 180 градусов.
- Радиус вписанной окружности рассчитывается по следующей формуле r =
, а описанной согласно выражению R = . - Радиус описанной окружности в правильном треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.
, а описанной согласно выражению R = 
.Видео:Сможешь найти сторону правильного треугольника?Скачать
Расчет через сторону
Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: 
, где, a и b – стороны, α – угол между ними.
В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется 
, преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: 
.
Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: 
.
Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.
Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: 
, где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр ( 
). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:
,
,
,
.
Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.
Вычисление площади треугольника по его стороне
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Расчет по высоте
Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: 
, где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.
Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: 
. После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.
Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: 
. В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Расчет через окружности
В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.
Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.
Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность
Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .
Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: 
. Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: 
.
Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: 
.
Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением 
для описанной окружности, и 
для вписанной.
Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: 
.
Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.
Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.
Площадь равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.
Видео:ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.Скачать
Сторона правильного треугольника
Сторона правильного треугольника — это одна из сторон
треугольника, у которого все стороны и углы равны.
У правильного треугольника имеется три стороны, и три угла.
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Признаки стороны правильного треугольника
Сторона является правильной в треугольнике, если:
- Каждый из углов треугольника равен 60 градусам.
- Все стороны треугольника равны.
- Все углы треугольника равны.
Кроме этих трех признаков, определить является ли сторона
правильной можно с помощью формул, характерных только
для сторон правильного треугольника.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Формулы стороны правильного треугольника
Длину правильной стороны в равностороннем, равноугольном,
правильном треугольнике можно выразить через формулы.
- Сторона правильного треугольника через высоту:
Сторона правильного треугольника через периметр:
Сторона правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности:
Сторона правильного треугольника через площадь:
С помощью вышеперечисленных формул можно найти сторону в
равностороннем, равноугольном, правильном треугольниках.
🎬 Видео
Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать
НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Задачи региона ВсОШ на степень точкиСкачать
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать
КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать
2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать
Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать
Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
