В искривленном пространстве длина окружности равна (6 видео)

Глава 4. Влияние силы всемирного тяготения на расширение Вселенной

Содержание

§4.4. Фридмановские модели Вселенной: геометрия
Искривленное пространство
Искривленное пространство двух измерений
Пространства с иным числом Пи
📺 Видео

Видео:Какова форма пространства? [MinutePhysics]Скачать

§4.4. Фридмановские модели Вселенной: геометрия

Расширение Вселенной в настоящее время интерпретируется не как движение галактик в пространстве, а как расширение самого пространства, к которому галактики как бы «приклеены». Дело в том, что пространство, согласно общей теории относительности А.Эйнштейна (ОТО), это не ничто, лишенное каких-либо качеств; у пространства как такового есть свои свойства. Главное из этих свойств — так называемая кривизна. В космологии используется два понятия: кривизна пространства-времени и кривизна пространства. Согласно общей теории относительности, кривизна пространства-времени обусловлена материей, и радиус кривизны пространства-времени тем больше, чем выше плотность. В отличие от кривизны пространства-времени, кривизна пространства может быть нулевой. По определению, ненулевая кривизна пространства означает, что в нем не выполняются некоторые аксиомы и теоремы евклидовой геометрии. Например, в искривленном пространстве сумма углов треугольника не равна 180°, отношение длины окружности к ее радиусу не равно 2 π , сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника не равна квадрату гипотенузы, и т.д. Отклонение свойств пространства от евклидового (плоского) характеризуется величиной, называемой «радиусом кривизны пространства” ( R ). Чем больше эта величина, тем меньше кривизна, тем ближе свойства пространства к евклидовому, тем менее оно искривлено. Радиус кривизны пространства меняется пропорционально масштабному фактору. Радиус кривизны евклидова пространства формально равен бесконечности.

Согласно ОТО, кривизна пространства обусловлена наличием материи. Чем больше плотность материи, тем больше кривизна (т.е. радиус кривизны меньше). Основное утверждение ОТО можно сформулировать так: материя говорит пространству, как ему искривляться, пространство говорит материи, как ей двигаться . Пространство и материя — это как бы единая субстанция; галактики “прикреплены” к пространству Вселенной, пространство “прикреплено” к галактикам. По этой причине радиус кривизны пространства меняется по такому же закону, как расстояние между галактиками в расширяющейся Вселенной.

Модели Фридмана различаются между собой не только поведением во времени, но и геометрическими свойствами пространства. Только лишь в модели II ( Ω =1) оно «плоское», описывается геометрией Евклида. В модели I пространство Вселенной подчиняется геометрии Лобачевского. Такое пространство называется пространством постоянной отрицательной кривизны. В нем через каждую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2 π . Двумерным аналогом пространства Лобачевского является так называемая псевдосфера — поверхность, каждый элемент которой напоминает по форме седло (рис. 4.4.1, слева). Плоский лист бумаги невозможно расстелить по такой седловидной поверхности без образования многочисленных разрывов. Это связано с тем, что площадь круглого участка псевдосферы больше πR 2 . Аналогично, объем пространства, заключенного внутри шара радиусом r в пространстве Лобачевского, больше объема шара евклидова пространства такого же радиуса.

Рис. 4.4.1. Слева: участок седловидной поверхности, являющейся двумерным аналогом пространства Лобачевского. Справа: сфера — двумерный аналог пространства Римана.

В модели III ( Ω >1) пространство подчиняется сферической геометрии Римана. Оно называется пространством постоянной положительной кривизны. Двумерным аналогом его является сфера (рис. 4.4.1, справа). В пространстве такого типа, по сравнению с пространством Лобачевского, все наоборот: вообще нет параллельных прямых (любые две прямые пересекаются), сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2 π . На сфере невозможно равномерно расстелить лист бумаги — неизбежно образуются складки. Это говорит о том, что площадь круга радиуса r на сфере (радиус определяется как длина нити, натянутой по поверхности) меньше площади круга такого же радиуса на плоскости. Значит, объем шара в пространстве постоянной положительной кривизны меньше шарового объема такого же радиуса в евклидовом пространстве.

У сферы есть одно замечательное свойство — она имеет конечную площадь. Вместе с тем, сфера безгранична, т.е. двигаясь по ней, мы никогда не наткнемся на какую-либо границу, но в конечном итоге придем в ту же точку, из которой вышли, с противоположной стороны (что экспедиция Магеллана доказала в 1522 году экспериментальным путем). Все направления на сфере равноправны, так что можно сказать, что на сфере выполняется космологический принцип. Совершенно аналогично этому, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто (в отличие от пространства Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, открытыми). Как и на сфере, в нем выполняется космологический принцип, т.е. оно безгранично. Безгранично, но не бесконечно, — вряд ли можно себе представить что-либо более парадоксальное, но ни логика, ни математика не видят здесь никакого противоречия, что доказывает пример с двумерной сферой.

И еще один симпатичный парадокс. Поскольку в замкнутой Вселенной помещается только конечное (хотя, разумеется, очень большое) количество галактик, можно сосчитать ее полную массу. Эта масса оказывается равной. нулю! Это второе удивительное свойство этой модели. Равенство нулю полной массы Вселенной с плотностью выше критической можно понять с помощью следующего рассуждения. Полная масса любой материальной системы всегда меньше сумм масс составляющей ее частей. Это явление связано с тем, что энергия взаимодействия, связывающего части системы воедино, отрицательна, а масса, согласно знаменитой формуле Эйнштейна E = mc 2 (где E — энергия, m — масса, c — скорость света) пропорциональна энергии. Разность между массой системы и суммой масс ее частей носит название дефекта массы. Впервые дефект массы был обнаружен в атомных ядрах, где он не превосходит нескольких процентов (но именно благодаря этим процентам в недрах звезд идут термоядерные реакции). Если Вселенная замкнута, то ее дефект массы равен 100%, т.е. энергия гравитационного взаимодействия всех помещающихся в ней тел в точности равна (с обратным знаком) внутренней энергии всего, что находится во Вселенной.

Видео:Что искривляется у пространства?Скачать

Искривленное пространство

Видео:ЧТО ТАКОЕ ВРЕМЯ? И ЧТО ТАКОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ?Скачать

Искривленное пространство двух измерений

Согласно Ньютону, всё притягивает к себе всё остальное с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и объекты реагируют на эти воздействия, приобретая ускорения, пропорциональные силам. Таковы законы Ньютона всеобщего тяготения и движения. Как вам известно, эти законы определяют движение мячей, планет, спутников, галактик и так далее.

Эйнштейн иначе интерпретировал закон тяготения: пространство и время — которые нужно объединить в пространство-время — искривлены вблизи тяжелых масс. А стремление объектов двигаться вдоль «прямых линий» в этом искривленном пространстве-времени заставляет их двигаться так, как они это делают. Это сложная идея — очень сложная. Именно ее мы хотим объяснить в этой главе.

Наш вопрос состоит из трех частей. Первая касается эффекта тяготения, вторая — идей пространства-времени, которые мы уже изучали, а третья — идеи искривленного пространства. Упростим нашу задачу: вначале не будем трогать тяготение и оставим в покое время — будем обсуждать только искривленное пространство. Позже мы поговорим и о других частях, но сейчас сконцентрируемся на идее искривленного пространства — что понимается под искривленным пространством и, в особенности, в эйнштейновском применении. Но даже только эта часть будет довольно трудна в трехмерном пространстве. Поэтому для начала упростим задачу еще больше и поговорим о том, что означают слова «искривленное пространство» двух измерений.

Чтобы понять идею искривленного двумерного пространства, надо представить себе ограниченный кругозор существа, живу-

Рис. 6.1. Жук на плоской поверхности

щего в таком пространстве. Вообразим себе слепого жука, который живет на плоскости, как показано на рис. 6.1. Он может передвигаться только по этой плоскости и не может узнать что-либо о существовании «внешнего мира». (Он не обладает воображением.) Попробуем применить аналогию. Мы живем в трехмерном мире и не обладаем воображением для того, чтобы выйти за пределы нашего трехмерного мира в каком-то новом направлении; поэтому прибегнем к аналогии. В некотором смысле мы похожи на жука, живущего на плоскости и не предполагающего о существовании пространства в другом направлении.

В качестве другого примера жука, живущехю в двух измерениях, представим себе жука на сфере. Предположим, что он может передвигаться по поверхности сферы, как на рис. 6.2, но не может взглянуть ни «вверх», ни «вниз», ни «наружу».

Теперь давайте рассмотрим третью разновидность существа. Это тоже жук, как и предыдущие два, и тоже живет на плоскости, как первый жук, но на этот раз плоскость необычная. В разных местах плоскости температура различна. Более того, измерительные линейки, которые он может использовать, сделаны из материала, который при нагревании расширяется. Когда наш жук прикладывает линейку для измерения в каком-либо

Рис. 6.2. Жук на сфере

Рис. 6.3. Жук на горячей тарелке

месте, линейка сразу же удлиняется до такой величины, которая соответствует температуре данного места. Какой бы объект ни взял жук — себя самого, линейку, треугольник, что угодно — всё подвержено температурному расширению. Любой предмет длиннее в горячих местах, чем в холодных, и все предметы имеют одинаковый коэффициент расширения. Назовем среду обитания нашего третьего жука «горячей тарелкой», хотя это специфический вид горячей тарелки: холодная в центре и все более горячая к краям (рис. 6.3).

Теперь представим себе, что наши жуки начинают изучать геометрию. Хотя мы и полагаем, что они слепы и не видят «внешнего» мира, но они могут сделать многое своими лапками и усиками: проводить линию, брать линейку и измерять длину. Давайте предположим, что они начали с простейшей задачи в геометрии. Они учатся проводить прямую линию, определенную как кратчайшее расстояние между двумя точками. Наш первый жук (см. рис. 6.4) умеет проводить очень хорошую прямую линию. А что делает жук на сфере? Он рисует прямую как кратчайшее расстояние — для него — между двумя точками, как показано на рис. 6.5. Для нас она выглядит кривой, но он не может покинуть сферу и считает, что это «действительно»

Рис. 6.4. «Прямая линия» на плоскости

Рис. 6.5. «Прямая линия» на сфере

кратчайшее расстояние. Он только знает, что любой другой путь в его мире всегда длиннее, чем эта его прямая линия. Так что позволим ему иметь свою прямую линию как кратчайшую дугу между двумя точками. (Естественно, это дуга большого круга.)

Наконец, наш третий жук — тот, что на рис. 6.3 — тоже рисует «прямую линию», которая нам кажется кривой. Например, кратчайшее расстояние между точками А и В на рис. 6.6 будет похоже на изображенную кривую. Почему? Потому что когда линия проходит через более теплые участки «горячей тарелки», линейка становится длиннее (с нашей всевидящей точки зрения), и требуется отложить меньшее число мерных отрезков, чтобы попасть из А в В. Так что для него линия оказывается прямой — он не может представить себе, что кто-то может существовать в странном трехмерном мире и называть «прямой» совсем другую линию.

Надо полагать, вы уже поняли, что весь остальной анализ будет проводиться с точки зрения существ, обитающих на разных поверхностях, а не с нашей точки зрения. Учитывая это, давайте посмотрим, на что похожа остальная геометрия наших жу-

Рис. 6.6. «Прямая линия» на горячей тарелке ков. Будем считать, что все жуки научились проводить перпендикуляр к прямой. (Можете догадываться, как они это делают.) Наш первый жук (тот, что на нормальной плоскости) делает это очень интересно. Он начинает в точке А и проводит прямую длиной 100 см, затем поворачивает под прямым углом и отмечает следующие 100 см, затем снова поворачивает под прямым углом и проводит еще 100 см, затем в третий раз поворачивает под прямым углом и проводит четвертую прямую длиной 100 см. В результате он оказывается в начальной точке, как показано на рис. 6.7, а. Это свойство его мира — один из законов его «геометрии».

Затем он обнаруживает еще одну интересную вещь. Если он нарисует треугольник — фигуру, образованную тремя прямыми линиями — то сумма углов равна 180°, то есть сумме двух прямых углов (см. рис. 6.7, б).

Затем он изобретает окружность. Что такое окружность? Окружность получается следующим способом: вы проводите прямые линии из одной точки в самых разных направлениях, и отмечаете точки, лежащие на одинаковом расстоянии от исходной (см. рис. 6.7, в). (Нам следует быть аккуратными при определении всех этих фигур, поскольку мы должны иметь возможность проанализировать действия остальных приятелей.) Конечно, это равнозначно кривой, которую можно получить, вращая линейку вокруг некоторой точки. Наш жук таким образом научился рисовать окружность. Потом он задумывается об измерении длины окружности. Он измеряет несколько окружностей и обнаруживает некоторую закономерность. Длина окружности всегда равна одному и тому же числу, умноженно-

Рис. 6.7. Квадрат, треугольник и окружность в плоском пространстве

Рис. 6.8. Попытка построить «квадрат» на сфере

му на радиус (который, конечно же, является расстоянием от центра до этой кривой). Длина окружности и радиус всегда имеют одно и то же отношение — примерно 6,283, — независимо от размера окружности.

Теперь посмотрим, как другие жуки строят свои геометри- чесмкие фигуры. Что произойдет с жуком на сфере, когда он попытается построить «квадрат»? Если он будет действовать так, как мы изложили выше, то скорее всего решит, что результат вряд ли стоит затраченных усилий. Он получит фигуру вроде той, что изображена на рис. 6.8. Точка, где он завершит свою работу, не совпадает с точкой А. У него вообще не получится никакая замкнутая кривая. Возьмите сферу и попробуйте. Нечто подобное получится и с нашим другом на горячей тарелке. Если он отложит четыре прямолинейных отрезка, проводя измерения с помощью своей расширяющейся линейки под прямыми углами, то получит картину вроде изображенной на рис. 6.9.

Теперь предположим, что у каждого из наших жуков есть свой собственный Евклид, который объясняет им, какой «должна» быть геометрия, и чтобы они убедились в его правоте, проводит приблизительные измерения на малых расстояниях.

Рис. 6.9. Попытка построить «квадрат» на горячей тарелке

Однако когда они попытаются построить точные квадраты большого размера, то обнаружат, что что-то не так. Дело в том, что с помощью одних только геометрических построений они смогут обнаружить, что дело заключается в их пространстве. Мы определяем искривленное пространство как пространство, геометрия которого отличается от геометрии плоскости. Геометрия жуков на сфере или на горячей тарелке — это геометрия искривленного пространства. Здесь правила геометрии Евклида не действуют. И вам вовсе не обязательно иметь возможность подниматься над плоскостью, чтобы понять, что вы живете в искривленном мире. Вовсе не обязательно облетать Землю, чтобы понять, что она является шаром. Можно обнаружить, что вы живете на шаре, построив квадрат. Если квадрат очень мал, то измерения должны проводиться с большой точностью, но если он велик, то можно провести и более грубые измерения.

Давайте рассмотрим треугольник на плоскости. Сумма его углов равна 180°. Наш приятель на сфере решит, что треугольники — очень странные фигуры. Он может, например, построить треугольник с тремя прямыми углами. В самом деле! Один из таких треугольников показан на рис. 6.10. Предположим, что наш жук начинает на северном полюсе и проводит прямую линию вплоть до экватора, Затем он поворачивает на 90° и проводит еще одну прямую линию такой же длины. Потом повторяет это еще раз. Из-за того, что он выбрал именно такую длину, он окажется в первоначальной точке и получит пересечение с первой линией под прямым углом. Поэтому нет никакого сомнения в том, что его треугольник имеет три прямых угла, что дает в сумме 270 градусов. Оказывается, что для него сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов. На самом деле избыток (в рассмотренном случае равный 90°) пропорционален

Рис. 6.10. На сфере «треугольник» может иметь три прямых угла площади треугольника. Если треугольник на сфере очень мал, сумма его углов близка к 180°, незначительно превосходя эту величину. По мере увеличения треугольника расхождение увеличивается. Жук на горячей тарелке обнаружит аналогичные трудности со своими треугольниками.

Теперь посмотрим, как у наших жуков обстоят дела с окружностями. Они рисуют окружности и определяют их длину. Так, жук на сфере рисует окружность, как показано на рис. 6.11. Он определяет, что ее длина меныае, чем радиус, умноженный на 2к. (Вы можете увидеть это, поскольку с высоты нашего трехмерного обзора видно, что кривая, которую он называет «радиусом», длиннее истинного радиуса окружности.) Предположим, что жук на сфере прочел Евклида и решил предсказать величину радиуса, разделив длину окружности на 2л, при этом он получит

Он обнаруживает, что измеренный радиус больше предсказанного. Действуя дальше, он может определить величину «избытка радиуса», написать

и исследовать, как избыток радиуса зависит от размера окружности.

Жук на горячей тарелке обнаруживает похожее явление. Пусть ему надо нарисовать окружность с центром в холодной точке на тарелке, как показано на рис. 6.12. Если мы понаблюдаем за ним, то заметим, что его линейка короче возле центра и

Рис. 6.11. Окружность на сфере

Рис. 6.12. Построение окружности на горячей тарелке

длиннее при перемещении к краям (хотя сам жук этого, конечно, не знает). Когда он измеряет длину окружности, линейка остается все время длинной, так что он тоже скоро выяснит, что измеренный радиус больше предсказанного (С/2л). Итак, жук на горячей тарелке тоже столкнулся с «эффектом избытка радиуса». И снова величина эффекта зависит от радиуса окружности.

Можно определить «искривленное пространство» как такое, в котором имеются следующие нарушения геометрии: сумма углов треугольника отличается от 180 градусов; длина окружности, деленная на 2л, не равна радиусу; правило для построения квадрата не дает замкнутую фигуру. Вы можете подумать о других нарушениях.

Мы привели два различных примера искривленного пространства: сфера и горячая тарелка. Но любопытно, что если выбрать правильную зависимость температуры на горячей тарелке от расстояния, две этих геометрии окажутся одинаковыми. Мы можем заставить жука на горячей тарелке получать точно такие же результаты, какие получает жук на сфере. Для тех, кто любит геометрию и геометрические задачи, мы подскажем, как это можно сделать. Предположим, что длина линейки (зависящая от температуры) пропорциональна единице плюс константа, умноженной на квадрат расстояния от центра, тогда окажется, что геометрия горячей тарелки в точности такая же , как геометрия сферы. Конечно, существуют и другие геометрии. Мы могли бы поинтересоваться геометрией жука, обитающего на груше, то есть на чем-то, имеющем большую кривизну в од- * за исключением бесконечно удаленной точки.

ном месте и меньшую — в другом, где избыток углов в треугольнике будет заметнее, когда он строит маленькие треугольники в одном месте, чем когда он делает это в другом месте. Другими словами, кривизна пространства может меняться от одной точки к другой. Это является обобщением идеи и может быть промоделировано подходящим распределением температуры на горячей тарелке.

Следует обратить внимание на то, что можно получить совершенно противоположный результат для расхождений. Вы можете, например, обнаружить, что все треугольники, если они достаточно велики, имеют сумму углов меньше 180 градусов. Это может показаться странным, но это так. Такой результат мы можем получить на горячей тарелке, где температура уменьшается с удалением от центра. Здесь все эффекты окажутся перевернутыми. Но мы можем получить такой же результат и чисто геометрически, рассмотрев двумерную геометрию на поверхности седла. Представьте себе седлообразную поверхность вроде той, что схематично изображена на рис. 6.13. Если нарисовать на этой поверхности «окружность», определить геометрическое место точек, расположенных на равном расстоянии от центра, то эта окружность представит собой кривую, изгибающуюся вверх и вниз подобно раковине моллюска. Поэтому ее длина окажется больше, чем моясно было бы ожидать, вычисляя 2пг. Так что на этот раз С/2л меньше г. «Избыток радиуса» оказывается отрицательным.

Сферы, груши и другие подобные поверхности являются поверхностями положительной кривизны; а остальные поверхности называют поверхностями отрицательной кривизны. Вообще говоря, двумерный мир может иметь кривизну, которая меняется от точки к точке и может быть положительной в одних местах и отрицательной в других. В общем под искрив-

Рис. 6.13. «Окружность» на седлообразной поверхности ленным пространством мы понимаем такое пространство, в котором нарушается евклидова геометрия, при этом расхождения могут быть как положительными, так и отрицательными. Величина кривизны — определенная, например, как избыток радиуса — может изменяться от одной точки к другой.

Обратите внимание на то, что при нашем определении кривизны цилиндр, что удивительно, не является искривленной поверхностью. Если жук обитает на поверхности цилиндра, как показано на рис. 6.14, то он обнаружит, что треугольники, квадраты и окружности ведут себя точно так же, как на плоскости. Это легко увидеть, представив себе, как все эти фигуры будут выглядеть, если поверхность цилиндра развернуть на плоскости. Тогда все геометрические фигуры можно точно совместить с аналогичными фигурами на плоскости. У жука, обитающего на цилиндре, нет возможности определить, что его пространство искривлено (при условии, что он не совершает обход вокруг цилиндра, а производит локальные измерения). В нашем техническом смысле мы считаем, что его пространство не искривлено. То, о чем мы поговорим, более точно называется внутренней кривизной; то есть кривизной, которая может быть найдена с помощью локальных измерений. (Цилиндр не обладает внутренней кривизной.) Именно эту кривизну имел в виду Эйнштейн, говоря о том, что наше пространство искривлено.

Рис. 6.14. Двумерное пространство с нулевой внутренней кривизной

Однако пока мы рассмотрели кривизну только для двумерного случая; надо двигаться дальше и разобрать, что означает это понятие в случае трех измерений.

Видео:А.С. Чирцов | Искривление пространства. ОТО. Псевдосилы инерции. Прощание с гравитацией.Скачать

Пространства с иным числом Пи

Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.

Чтобы представить такой мир, нужно математически реализовать пространство с иным соотношением длины окружности к ее диаметру. Это я и попытался сделать.

Попытка №1.

Оговорим сразу, что рассматривать я буду только двумерные пространства. Почему? Потому что окружность, собственно, определена в двумерном пространстве (если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой).
Так что для начала я попытался придумать хоть какое-то пространство, где Пи не равно 3.1415… Для этого я взял метрическое пространство с метрикой, в которой расстояние между двумя точками равно максимуму среди модулей разности координат (т.е. расстояние Чебышева).

Какой же вид будет иметь единичная окружность в этом пространстве? Возьмем точку с координатами (0,0) за центр этой окружности. Тогда множество точек, расстояние (в смысле заданной метрики) от которых до центра равно 1, есть 4 отрезка, параллельных осям координат, образующих квадрат со стороной 2 и с центром в нуле.

Да, в некоторой метрике это — окружность!

Посчитаем здесь Пи. Радиус равен 1, тогда диаметр, соответственно, равен 2. Можно также рассмотреть определение диаметра как наибольшего расстояния между двумя точками, но даже так оно равно 2. Осталось найти длину нашей «окружности» в данной метрике. Это сумма длин всех четырех отрезков, которые в данной метрике имеют длину max(0,2)=2. Значит, длина окружности равна 4*2=8. Ну а тогда Пи здесь равно 8/2=4. Получилось! Но нужно ли сильно радоваться? Результат этот практически бесполезен, ведь рассматриваемое пространство абсолютно абстрактно, в нем даже не определены углы и повороты. Вы можете представить себе мир, где по факту не определен поворот, и где окружностью является квадрат? Я пытался, честно, но у меня не хватило воображения.

Попытка №2.

Осознав, что я получил хоть и интересный, но абсолютно бесполезный (в смысле понимания строения мира с иным числом Пи) результат, я решил попытаться построить модель пространства с определенными понятиями углов и поворотов (то есть пространство с заданным невырожденным скалярным произведением). Разумеется, мне хотелось, чтобы метрика осталась метрикой в классическом понимании этого слова (т.е. чтобы расстояние между двумя точками было вещественным и неотрицательным). Но тогда скалярное произведение должно быть положительно определено, откуда вытекает, что пространство должно быть евклидовым. Или хотя бы локально евклидовым, то есть многообразием. Можно не забивать себе голову всеми этими понятиями, а просто читать дальше 🙂
Признаюсь, я убил некоторое время, пытаясь придумать хитрую евклидову метрику с нехорошим числом Пи. Я считал длины получившихся «окружностей», вспоминая различные интегральные формулы, пока до меня не дошел очевидный факт: если пространство евклидово, то заменой координат можно получить наше обычное пространство , в котором число Пи известно. Значит и в другом евклидовом пространстве оно не изменит своего значения. Печаль.

Попытка №3.

Раз нам по-прежнему желательно наличие углов и поворотов, но евклидово пространство нас не устраивает, попробуем рассмотреть псевдоевклидово типа (1,1) (т.к. нас интересуют только двумерные). От обычного евклидового пространства оно отличается тем, что в нем квадрат расстояния между двумя точками (а, как следствие, и скалярное произведение двух векторов) может быть отрицательным. Чтобы особо не мучиться, я взял метрику в которой скалярное произведение в декартовых координатах будет иметь вид . Какой же вид примет окружность единичного радиуса? Это будет множество точек, задаваемых уравнением , то есть… Гипербола.

Да-да! В определенном пространстве и это — окружность.

Радиус равен 1, а вот с нахождением длины этой «окружности» есть некоторые сложности. После некоторых поисков информации в интернете, я пришел к выводу, что в псевдоевклидовом пространстве такое понятие как «число Пи» вообще не может быть определено, что, безусловно, плохо.

Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.

Выводы:

Не знаю, можно ли писать о выводах после таких не сильно продолжительных исследований, но кое-что сказать можно. Во-первых, попытавшись представить пространство с иным числом Пи, я понял, что оно будет слишком абстрактно, чтобы быть моделью реального мира. Во-вторых, когда если попытаться придумать более удачную модель (похожую на наш, реальный мир), выходит, что число Пи останется неизменным. Если принять за данность возможность отрицательного квадрата расстояния (что для обычного человека — просто абсурд), то Пи не будет определено вовсе! Все это и наводит на мысль, что, возможно, мира с другим числом Пи и вовсе быть не могло? Ведь не зря же Вселенная именно такая, какая она есть. А может быть, это и реально, только обычной математики, физики и человеческого воображения для этого недостаточно. А вы как считаете?

Upd. Узнал точно. Длина кривой в псевдоевклидовом пространстве может быть определена только на каком-либо его евклидовом подпространстве. То есть, в частности, для получившейся в попытке N3 «окружности» вовсе не определено такое понятие как «длина». Соответственно, Пи там тоже посчитать нельзя.