В четырехугольнике mnkp вписана окружность (5 видео)

Задача по геометрии (просто) Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в

Задача по геометрии (просто)

Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если lt;MKP=58* , lt;MPN=34*, lt;KMP=16*.

*-градусы

Пожалуйста, поподробнее, а так же если не трудно с рисунком.

Damanov Igor
Геометрия 2018-12-14 15:58:29 1 1

угол NРК = 180 — (угол КМР + угол МРN + угол МКР) = 72

угол Р = угол МРN + угол NPK = 34+72 = 106

угол N = 180 — угол Р = 180 — 106 = 74 (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника одинакова 180)

угол NМК = угол NPK = 72 — (как углы, опирающиеся на одну дугу)

угол М = угол NMK + угол КМР = 72+16 = 88

угол К = 180 — угол М = 180 — 88 = 92 (сумма обратных углов вписанного четырехугольника одинакова 180)

Содержание

В четырехугольнике mnkp вписана окружность
Вписанные и описанные многоугольники
Старт в науке
Школе NET
Register
Login
Newsletter
Суррикат Мими
Задачка по геометрии (просто) Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если
Лучший ответ:
Энджелл
💡 Видео

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

В четырехугольнике mnkp вписана окружность

Список секций
Математика
Вписанные и описанные многоугольники

Видео:Геометрия Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58, угол MPNСкачать

Вписанные и описанные многоугольники

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.»

В настоящее время на территории Российской Федерации около 17 миллионов обучающихся посещают различные учебные заведения. И в образовательной программе каждого из учеников встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, связанных с окружностями. Кроме того, большую часть данных задач занимают те, которые включают в себя вписанные и описанные окружности. Чаще всего решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных законов и теорем.

Данное исследование направлено на изготовление пособий в виде небольших памяток, содержащих несколько наиболее распространённых формул по данному разделу геометрии.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Вписанные и описанные окружности являются неотъемлемой частью геометрии. Данные фигуры встречаются как в типовых задач, так и в олимпиадных и задачах повышенной сложности.

Что представляют собой вписанные и описанные многоугольники

Данный материал будет полезен ученикам старшей школы, готовящимся к ЕГЭ. Кроме того, в учебниках геометрии 9-11 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.

Благодаря данному сайту ученики смогут повторять, вспоминать или даже изучать основную и углублённую информацию на тему «решение задач о вписанных и описанных многоугольниках». В будущем, они смогут решить подобные задачи, встречающиеся на ЕГЭ.

Вписанные и описанные многоугольники, критерии, их свойства и формулы.

Задачи на ЕГЭ на заданную тему.

Я предполагаю, что существует больше критериев вписанности и описанности многоугольников, чем даётся в учебниках геометрии. Так же, я считаю, что, из свойств вписанных и описанных многоугольников можно вывести некоторые формулы, которые будут помогать при решении различных задач.

Описание метода. Этапы проведения исследования

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Выбор темы, формулировка проблемы.

Изучение теоретического материала о вписанных и описанных многоугольниках.

Поиск ранее проведенных исследований на данную тему.

Выбор объектов исследования (математических задач) и методов решения проблемы.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Найти и применить дополнительный материал о вписанных и описанных многоугольниках при решении задач. Разработать электронный сайт с данной информацией.

Проанализировать литературу по данной теме.

Узнать и уметь применять полученные знания.

Привести пример разбора нескольких задач со вписанными или описанными многоугольниками

Выделить основные способы их решения

Представить упорядоченную информацию о задачах по данной теме в виде организованного электронного сайта.

Методы и приёмы, которые использовались в работе

Эмпирический: изучение литературных источников.

Причины использования предлагаемых методов и приёмов

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Что же такое многоугольник? Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной . Прежде всего стоит рассказать о классификации многоугольников. Многоугольники делятся на треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и так далее. Существует и другая классификация: на выпуклые и невыпуклые, но она не так значима для этой исследовательской работы.

Вписанным в окружность многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности (рис. 1) . Описанным многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис. 2).

Вписанный многоугольник Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него не всегда можно вписать или около него описать окружность.

Только многоугольники, соответствующие некоторым правилам – критериям вписанности и описанности, можно описать окружностью или вписать в них окружность.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

В любой треугольник можно вписать окружность с центром является точка пересечения биссектрис треугольника (рис. 3).

Вокруг любого треугольника можно описать окружность — ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам (рис. 4). Иногда говорят еще что окружность описана около треугольника. Это означает тоже самое — все вершины треугольника лежат на окружности.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри. У тупоугольного – вне треугольника. А у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис. 5).

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Формулы площади треугольника:

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

где — стороны треугольника,

— радиус описанной окружности

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Критерии вписанности четырёхугольника:

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°. Угол А + угол С = 180 о (рис. 6)

Чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, нужно, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. (рис. 7)

Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей f и e (рис. 8) четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке (рис. 9)

Критерии описанности четырёхугольника:

Выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. (рис. 10 )

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру р четырёхугольника (рис. 11)

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

AD + BC = AB + DC => AB + BC + CD + DA = р x 2

Обратно — четырёхугольник, в котором AD + BC = AB + DC , должен быть описанным.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Пятиугольник вписать в окружность или описать его можно тогда, когда биссектрисы его сторон пересекаются в одной точке, которая будет являться центром окружностей (рис. 12)

Радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности:

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Докажите, что отличная от B точка пересечения окружностей, построенных на сторонах BA и BC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой AC.

Решение: пусть K – вторая точка пересечения окружностей. ∠ AKB=90 ∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Аналогично ∠ CKB=90 ∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр BC. Таким образом, через точку K к прямой BK проведены две прямые AK и CK, перпендикулярные BK, следовательно, эти прямые либо совпадают, либо параллельны. Но т.к. они имеют общую точку K, то они не могут быть параллельны, то есть они совпадают. Значит, точки A, C и K лежат на одной прямой, чтд.

В окружность вписан четырехугольник MNKP, причем площади треугольников MNP и MKP равны.

Докажите, что треугольник NOK – равнобедренный, где O – точка пересечения отрезков MK и NP.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: т.к. S △ MNP=S △ MKP и эти треугольники имеют общее основание MP, то 12 ⋅ MP ⋅ NH1=12 ⋅ MP ⋅ KH2 ⇒ NH1=KH2 Таким образом, точки N и K находятся на одинаковом расстоянии от прямой MP, следовательно, NK ∥ MP. Таким образом, MNKP – трапеция, вписанная в окружность. Т.к. параллельные прямые отсекают от окружности равные дуги, то меньшие полуокружности дуги MN ⌣ =KP ⌣ . Т.к. равные дуги стягиваются равными хордами, то отрезки MN и KP равны. Следовательно, трапеция MNKP является равнобедренной. В равнобедренной трапеции △ MOP и △ NOK являются равнобедренными, чтд. Действительно, вписанные углы ∠ NKM и ∠ KNP равны, т.к. опираются на равные дуги, следовательно, △ NOK – равнобедренный.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем ∠ ACD=90 ∘ , ∠ ACB= ∠ BAD, AD=2, CD=65. Найдите длину отрезка BC.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: т.к. ∠ ACD=90 ∘ , то он опирается на диаметр, то есть AD – диаметр. Следовательно, ∠ ABD=90 ∘ . Вписанные углы ∠ ACB и ∠ ADB равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, △ ABD – прямоугольный и равнобедренный, то есть ∠ BDA= ∠ BAD=45 ∘ и AB=BD=AD÷2=2. 2) По теореме Пифагора из △ ACD: AC=AD2−CD2=4−3625=85 Тогда по теореме косинусов из △ ABC: AB2=AC2+BC2−2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos45 ∘⇒ 2=6425+BC2−2 ⋅ 85 ⋅ BC ⋅ 22 Решая полученное квадратное уравнение, находим, что BC=25 или BC=725. Заметим, что в △ ABC угол B – тупой, следовательно, против него должна лежать большая сторона. Таким образом, число 725 не подходит, т.к. 725>85=AC. Таким образом, BC=25.

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C прямого угла треугольника ABC, основание H высоты CH и точку K — середину катета BC, если гипотенуза треугольника равна c.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: сразу заметим, что ∠ C=90 ∘ — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если M – точка пересечения окружности с катетом AC, то MK – диаметр. Заметим, что в △ CHB HK — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть HK=KC. Таким образом, прямоугольные треугольники MCK и MHK ( ∠ H=90 ∘ , т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, KM – содержит биссектрису ∠ CKH, а т.к. △ CKH равнобедренный, то и высоту, то есть KM ⊥ CH. По условию также CH ⊥ AB, следовательно, MK ∥ AB. Значит, по теореме Фалеса M – также середина катета AC, то есть MK – средняя линия. Значит, радиус окружности равен R=12MK=12 ⋅ 12AB=14c.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

В результате данного исследования и анализа критериев вписанности и описанности многоугольников, включающих в себя: треугольники, четырёхугольники и пятиугольники были сделаны выводы о том, что критериев вписанности и описанности многоугольников существует гораздо больше, чем нам предлагают в ходе учебного курса. Помимо критериев вписанности и описанности многоугольников, я выяснил, что есть несколько формул, применяемые к вписанным или описанным многоугольникам, помогающие решать задачи.

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать