В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
213
3-21
1-3-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = &#9451ε1 + &#9452ε2 + &#9453ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
1 + 3α2 + 1α3 = 7
1 -2α2 -3α3 = 0
1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =
2
1
0

X = 2ε1 + ε2

В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Примеры решений. Линейные пространства

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Решения задач: линейные пространства

Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:

Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.

Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^$

Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $overline$ угол $alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|overline|=1$ .

Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ begin 2a & a+3b-2c\ b & 5c\ end $$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Матрица линейного оператора примеры

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, найдём его образ, это будет вектор В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,…, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Аналогично находим образы для В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,…, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Из координат образа вектора В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Аналогично для умножения на константу:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1 = 1, x2 = 0, а затем x1 = 0, x2 = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2– матрица оператора в базисе В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. По условию, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2для всех индексов В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, при этом столбцы матрицы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2– это векторы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, а столбцы матрицы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2– векторы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Тогда матрица В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2может быть найдена в виде В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2в систему векторов В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Здесь В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, и получаем:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2и В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Построим матрицу одного из этих операторов, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Аналогично, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,…, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, аналогично получим В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,…, В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Матрица этого линейного оператора:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2| 7588 – В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Видео:№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.Скачать

№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

связывающее вектор-прообраз В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2с вектором-образом В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2. Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2, сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2и В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,(1)

где Am×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,(2)
В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2и В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(3)

является разложением x в по базису В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Применим оператор A к базисным векторам В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(4)

где aij − координаты полученного вектора в базисе В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2

Сделаем следующее обозначение:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2имеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами aij:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2и В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2.

Видео:№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и Bmxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx= Ax+ Bx, x∈R,(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:

Cej= Aej+ Bej=n(aij+bij) ej
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 a2 e1 2e2,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.(11)

Видео:1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx= A( Bx), x ∈ R.(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

🔍 Видео

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: