Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол ABC. Найдите его градусную величину.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Аналоги к заданию № 27890: 26237 27891 509571 Все

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол ABC. Найдите его градусную величину.

Длина дуги равна Угол вписан в окружность найти его градусную величинуот длины окружности, значит, градусная величина вписанного угла, который на нее опирается равна Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Аналоги к заданию № 27890: 26237 27891 509571 Все

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

На клетчатой бумаге изображён вписанный угол

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Дорогие друзья! Мы уже рассматривали с вами задачи на вписанный в окружность угол. Если вы давно не решали подобных заданий, и не помните свойство вписанного угла, то обязательно ознакомьтесь с материалами и решите несколько задач, посмотрите статьи на блоге « Угол вписанный в окружность. Часть 1! » и про вписанный четырёхугольник , либо соответствующий раздел в учебной литературе.

Есть ещё один тип заданий с вписанным углом, которые входят в состав ЕГЭ. Их мы и рассмотрим в этой статье. В заданиях имеется одна особенность – окружность и угол заданы (построены) на листе в клетку и никаких градусных величин в условии не задано. Возникает вопрос: а как тогда углы-то вычислять?

Всё просто! Нужно понимать как «установить» угол, если он построен на листе в клетку, а далее использовать свойство вписанного угла. Запутал?

Начнём с самого простого. Чему равен данный угол?

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Конечно же, 90 градусам.

Чему равен этот угол?

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Понятно, что 45 градусам.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Правильно, 135 градусам (90 + 45 или по-другому 180 – 45).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

225 градусов (180 + 45 или 360 – 135).

Понимания того, как стороны угла расположены относительно клеток вполне достаточно, чтобы решать такие задачи.

Ещё раз напомню основное свойство вписанного угла.

«Вписанный угол равен половине центрального,

опирающегося на ту же дугу»

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

27891. Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC . Ответ дайте в градусах.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Все подобные задания, в которых дан вписанный в окружность угол (либо центральный угол) на листе в клетку, решаются просто – угол определяется по расположению его сторон относительно клеток. Если необходимо, то используется свойство вписанного угла.

Построим центральный угол соответствующий дуге ВС:

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Градусная величина дуги на которую опирается вписанный угол равна центральному углу опирающемуся на эту дугу, то есть нам необходимо найти угол ВОС:

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

По клеткам видно, что угол ВОС равен 90 0 + 45 0 = 135 0 (ОС проходит по диагонали клеток).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

27887. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

27888. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

27889. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

27890. Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC . Ответ дайте в градусах.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нужно знать свойство вписанного угла (обязательно).

Для решения подобных задач достаточно построить центральный угол и далее использовать указанное свойство.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Когда маленький Дракула не вернулся домой из школы, его мама так и подумала: «Наверное, кол поставили».

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Углы, связанные с окружностью

Угол вписан в окружность найти его градусную величинуВписанные и центральные углы
Угол вписан в окружность найти его градусную величинуУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол вписан в окружность найти его градусную величинуДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол вписан в окружность найти его градусную величину
Вписанный уголУгол вписан в окружность найти его градусную величинуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол вписан в окружность найти его градусную величинуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол вписан в окружность найти его градусную величинуДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол вписан в окружность найти его градусную величинуВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Видео:ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать

ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭ

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол вписан в окружность найти его градусную величинуУгол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол вписан в окружность найти его градусную величинуУгол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол вписан в окружность найти его градусную величинуУгол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный касательной и секущейУгол вписан в окружность найти его градусную величинуУгол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол вписан в окружность найти его градусную величинуУгол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол вписан в окружность найти его градусную величину
Формула: Угол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол вписан в окружность найти его градусную величину
Формула: Угол вписан в окружность найти его градусную величину
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

В этом случае справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

В этом случае справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Угол вписан в окружность найти его градусную величину

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

📽️ Видео

Видео урок / Геометрия: В угол величиной 70 градусов вписана окружность, которая касается его сторонСкачать

Видео урок / Геометрия: В угол величиной 70 градусов вписана окружность, которая касается его сторон

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия: В окружность вписан равносторонний восьми угольник. Найдите величину угла АВС. / ЕГЭ ОГЭСкачать

Геометрия: В окружность вписан равносторонний восьми угольник. Найдите величину угла АВС. / ЕГЭ ОГЭ

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 класс

🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 класс

72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Задание 3 ЕГЭ по математике #113Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике #113

Задача 6 №27885 ЕГЭ по математике. Урок 122Скачать

Задача 6 №27885 ЕГЭ по математике. Урок 122

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O  Угол BAC равен 32°

ОГЭ 2021. Задание 18. Фигуры на квадратной решеткеСкачать

ОГЭ 2021. Задание 18. Фигуры на квадратной решетке

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол
Поделиться или сохранить к себе: