Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Решение №2200 Угол А трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, вписанной в окружность, равен 52º.

Угол А трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, вписанной в окружность, равен 52º. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

∠А и ∠В односторонние при параллельных прямых ВС||AD (основания трапеции) и секущей АВ их сумма равна 180°. Найдём ∠В:

∠В = 180° – ∠А = 180° – 52° = 128°

Видео:Геометрия Периметр равнобокой трапеции равен 52 см, основания – 13 см и 21 см. Найдите боковуюСкачать

Геометрия Периметр равнобокой трапеции равен 52 см, основания – 13 см и 21 см. Найдите боковую

Вписанный угол окружности равен 52

Видео:17)Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61°.Найдите угол C этойСкачать

17)Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61°.Найдите угол C этой

Решение №2200 Угол А трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, вписанной в окружность, равен 52º.

Угол А трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, вписанной в окружность, равен 52º. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

∠А и ∠В односторонние при параллельных прямых ВС||AD (основания трапеции) и секущей АВ их сумма равна 180°. Найдём ∠В:

∠В = 180° – ∠А = 180° – 52° = 128°

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Центральные и вписанные углы

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

О чем эта статья:

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Равнобедренная трапеция вписанная в окружность / 8 класс / ГеометрияСкачать

Равнобедренная трапеция вписанная в окружность / 8 класс / Геометрия

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Математика 11, задача по геометрии, 2-я часть ЕГЭ, задача 16Скачать

Математика 11, задача по геометрии, 2-я часть ЕГЭ, задача 16

Углы, связанные с окружностью

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Вписанные и центральные углы
Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ЕГЭ 6 номер. Задача про трапецию вписанную в окружностьСкачать

ЕГЭ 6 номер. Задача про трапецию вписанную в окружность

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголУгол трапеции вписанной в окружность равен 52Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.Вписанный уголУгол трапеции вписанной в окружность равен 52Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хордыВписанный уголУгол трапеции вписанной в окружность равен 52Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хордыВписанный уголУгол трапеции вписанной в окружность равен 52Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметрОкружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Угол, образованный касательной и секущейУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

В этом случае справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

В этом случае справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Угол трапеции вписанной в окружность равен 52

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен 42°. Найдите потальные углы трапеции.

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Ваш ответ

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

решение вопроса

Видео:№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.Скачать

№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,937
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

🎬 Видео

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача  на вычисление.

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

ОГЭ 2023 по математике | Задание №16 | Марина ГоробецСкачать

ОГЭ 2023 по математике | Задание №16 | Марина Горобец
Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Формула: Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Формула: Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол трапеции вписанной в окружность равен 52
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол трапеции вписанной в окружность равен 52