Угол с вершиной на окружности называется ее центральным углом (3 видео)

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Содержание

Центральный угол и вписанный угол
Свойства центральных и вписанных углов
Примеры решения задач
Вписанные и центральные углы, их свойства
теория по математике 📈 планиметрия
Вписанный угол
Свойства вписанных углов
Центральный угол
Свойства центральных углов
Центральные и вписанные углы — определение и вычисление с примерами решения
Что такое вписанный угол
Смежные и вертикальные углы
Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
🔥 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Свойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .

Свойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Центральные и вписанные углы — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 79

Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символом который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, и (рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: (или ) и (или ). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например (или ).

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего ей центрального угла.

Например, если то (рис. 79).

Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180°, а дуги, являющейся окружностью, — 360°. На рисунке 79:

Видео:Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Что такое вписанный угол

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 80 стороны вписанного угла пересекают окружность в точках и Говорят, что этот угол опирается на дугу

Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла делят окружность на две дуги: и Так как не содержит вершины угла (точки ), то является дугой, на которую опирается вписанный угол Эта дуга выделена цветом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть является вписанным в окружность с центром и опирается на дугу (рис. 80).

Докажем, что Рассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла.

1) Пусть центр окружности — точка — принадлежит одной из сторон угла, например (рис. 81). Центральный угол является внешним углом треугольника Тогда, по свойству внешнего угла, Но — равнобедренный ( как радиусы), поэтому

Следовательно, то есть

Но Таким образом,

2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 82). Проведем луч пересекающий окружность в точке

Тогда

3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла

(рис. 83). Тогда

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 84).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 85).

Пример:

Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая — между их продолжениями.

Доказательство:

Рассмотрим с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что

— внешний угол треугольника поэтому:

Пример:

Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим вершина которого лежит вне круга, a и — секущие (рис. 87). Докажем, что

— внешний угол треугольника поэтому:

то есть

Поэтому

Доказательство теоремы о вписанном угле встречается в «Началах» Евклида. Но еще раньше этот факт, как предположение, впервые высказал Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).

О том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, было известно вавилонянам 4000 лет тому назад, а первое доказательство этого факта приписывают Фалесу Милетскому.

Смежные и вертикальные углы

Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы и — смежные.

Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого.

На рисунке 263 и — вертикальные, углы и также вертикальные.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Углы и расстояния в пространстве
Подобие треугольников
Решение прямоугольных треугольников
Параллелограмм
Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Площадь трапеции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.