Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

Теорема синусов

Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Доказательство теоремы синусов
  2. Доказательство следствия из теоремы синусов
  3. Теорема о вписанном в окружность угле
  4. Примеры решения задач
  5. Запоминаем
  6. Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника
  7. Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника
  8. §1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
  9. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  10. Серединный перпендикуляр к отрезку
  11. Окружность, описанная около треугольника
  12. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  13. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  14. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
  15. 1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
  16. 2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
  17. 3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
  18. 4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
  19. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
  20. 🎥 Видео

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

Формула теоремы синусов:

Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

  • Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике
    bc sinα = ca sinβ
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

    №694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

    Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из егоСкачать

    Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника

    Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника

    • Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    §1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

    Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

    Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Используем обычные обозначения:

    `c` — гипотенуза `AB`;

    `a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

    `a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

    `h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

    `m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

    `R` – радиус описанной окружности;

    `r` – радиус вписанной окружности.

    Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

    `sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

    Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

    `c^2 = a^2 + b^2`

    Доказательство теоремы повторите по учебнику.

    Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

    Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

    Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

    Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

    Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

    Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

    Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

    Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

    Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

    Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

    Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

    Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике.

    Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

    Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

    Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

    Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

    `a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

    Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

    Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

    Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Окружность, описанная около треугольника.
    Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеСерединный перпендикуляр к отрезку
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеОкружность описанная около треугольника
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

    Серединный перпендикуляр к отрезку

    Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

    Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

    Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

    Видео:Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

    Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

    Окружность, описанная около треугольника

    Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

    ФигураРисунокСвойство
    Серединные перпендикуляры
    к сторонам треугольника
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Посмотреть доказательство
    Окружность, описанная около треугольникаКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольникеЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
    Теорема синусовКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Площадь треугольникаКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Окружность, описанная около треугольникаКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

    Теорема синусовКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Площадь треугольникаКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружностиКак найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

    №705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

    Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

    Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

    Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике.

    Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

    l = 2Rsin φ .(1)

    Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

    Формула (1) доказана.

    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

    Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

    №693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

    Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

    С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

    Открыть онлайн калькулятор

    Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

    1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

    Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

    ( small R=frac )

    где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

    ( small R=frac =frac , )
    ( small R=frac . )(1)

    Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

    Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

    Подставим значение ( small c=frac ) в (1):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Ответ: Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

    Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

    ( small c=sqrt. )(2)

    Подставляя (2) в (1), получим:

    ( small R=frac =frac , )
    ( small R=frac . )(3)

    Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

    Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Ответ: Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике(4)

    Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

    ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

    4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

    Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

    ( small angle A+angle B=90°. )
    ( small angle A=90°-angle B. )(5)

    Подставляя (5) в (4), получим:

    ( small R=frac =frac ) ( small =frac )
    ( small R=frac . )(6)

    Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

    Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Ответ: Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

    Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

    Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Как найти диаметр описанной окружности в прямоугольном треугольнике

    Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность.

    🎥 Видео

    Прямоугольный треугольник Радиус описанной окружностиСкачать

    Прямоугольный треугольник  Радиус описанной окружности

    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать

    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классы
    Поделиться или сохранить к себе: