Площадь треугольника в масштабе

Практическая работа 1.

Измерение по картам площадей.

В результате измерения площадей различных объектов по топографическим планам и картам можно определить площади соответствующих контуров на местности (точнее, на уровенной поверхности).

Масштаб площади равен численному масштабу плана или карты, возведенному во вторую степень.

Например: для карты масштаба 1 : 10 000 масштаб площадей будет (1 : 10 000)2, или 1 : 100 000 000.

Для практических целей удобнее пользоваться именованным масштабом, т. е. определить, какой площади местности соответствует 1см2, или 1 м2 на карте данного масштаба.

Например: на карте масштаба 1 : 25 000

в 1 см 250 м, в 1 см2 (250 м)2 — в 1 см2 62 500 м2;

в 1 мм 25 м, в 1 мм2 (25 м)2 — в 1 мм2 625 м2

1 км2 = 1000 000 м2

1 га = 100 00 м2

1 м2 = 100 00 см2

На картах площади обычно измеряются графическим способом или с помощью палетки.

1) Графический способ. Сущность его состоит в том, что площадь участка на карте разбивается на простейшие геометрические фигуры — прямоугольники, трапеции, треугольники и др. Затем геометрическим путем определяется их площадь (по формулам геометрии). Необходимые построения делаются при помощи угольника и линейки тонко заточенным карандашом. Площади отдельных фигур суммируются, переводят в масштаб площадей данной карты и получают площадь объекта, выраженную в м2, км2, га.

S треугольника = *а * h

S прямоугольника = а * в

S трапеции = * h

а) территория леса на карте масштаба 1 : 10 000 имеет прямоугольную форму, длина сторон 41 мм и 34 мм.

Определим площадь леса в гектарах.

Площадь прямоугольника 41 мм * 34 мм = 1394 мм2.

Согласна масштаба, в 1 см 100 м, в 1 мм 10 м,

в 1 мм2 (10 м)2 , следовательно в 1 мм2 100 м2.

Переводим площадь леса согласна масштаба карты:

Площадь леса = 1394 мм2 * 100 м2 = 139400 м2 = 13, 94 га

б) участок сада на карте масштаба 1 : 300 000 имеет форму квадрата (со стороной 2,4 см) и треугольника (основание 2,1 см, высота 1,5 см). Определим площадь объекта.

Площадь квадрата = (2,4 см)2 = 5,76 см2,

площадь треугольника = 0,5 * 2,1 *1,5 = 1,575 см2.

Общая площадь 5,76 см2 + 1,575 см2 = 7,335 см2.

В 1 см на карте 3 км на местности, таким образом в 1 см2 9 км2.

Площадь объекта: 7,335 см2 * 9 км2 = 66,015 км2.

Графическим способом можно определить площадь объекта и с криволинейными контурами. При этом объект разбивают на геометрические фигуры, предварительно спрямив границы с таким расчетом, чтобы сумма отсеченных участков и сумма избытков компенсировали друг друга.

Определите масштаб площади для карт следующих масштабов: 1 : 500; 1 : 200 000; 1 : 20; 1: 3 000; 1 : 6; 1 : 500 000.

Чему равна площадь объектов, если на карте масштаба 1 : 20 000 они равны: 20 мм2, 48 мм2, 5 см2, 12,8 см2.

Найти площадь объекта:

а) Территория леса на карте масштаба 1 : 10 000 имеет прямоугольную форму, длина сторон 47 мм и 54 мм. Определите площадь леса в (га);

б) Луг на карте масштаба 1 : 25 000 имеет форму трапеции с размерами: основания 3,2 мм, 2,4 мм, высота 1,5 мм. Определите площадь в (га);

в) Участок овощных культур имеет на плане масштаба 1: 500 форму трапеции со сторонами: высота 15 мм, верхнее основание 21,5 мм, нижнее основание 33,3 мм. Определить площадь (га).

2) Для определения площадей криволинейных контуров пользуются палеткой. Палетка представляет собой прозрачную пластинку (из мелинекса, стекла, пластмассы) или лист кальки с сеткой квадратов (со стороной 1-5 мм). Ее накладывают на соответствующий контур и подсчитывают целые квадраты, поместившиеся внутри него. Неполные квадраты, рассекаемые границами контура, комбинируют на глаз так, чтобы в сумме были целые квадраты. Число квадратов, полученное при подсчете, умножают на площадь одного квадрата, находят площадь объекта по палетке. Затем умножают на масштаб площади карты.

Например: Карта масштаба 1 : 100 000. На исследуемый объект (луг) накладывается палетка (со стороной квадратиков 2 мм).

— кол-во полный клеток = 12

— кол-во неполный клеток переводим в полные клетки = 6

— сумма всех клеток = 18

— площадь одного квадрата = 2 мм * 2 мм = 4 мм2

— площадь объекта по палетке = 18 клеток * 4 мм2 = 72 мм2

— масштаб площади карты: в 1 см 1000 м, в 1 мм 100 м, в 1 м2 100 00 м2.

— площадь объекта (луг) = 72 мм2 * 100 00м2 = 720 000м2 = 72 га.

Определите численный масштаб карты, если известно:

а) что 1 см2 на этой карте соответствует 100 га;

б) что 1 мм2 на этой карте соответствует 64 га.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Масштаб треугольника, особенности, формула и площади, расчет

разносторонний треугольник Это трехсторонний многоугольник, где у каждого разные размеры или длины; по этой причине ему дается название лестница, что на латыни означает скалолазание.

Треугольники — это многоугольники, считающиеся простейшими в геометрии, потому что они образованы тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. В случае разностороннего треугольника, поскольку он имеет все разные стороны, это означает, что его три угла также будут разными..

• 1 Характеристика разносторонних треугольников
  • 1.1 Компоненты
• 2 свойства
  • 2.1 Внутренние углы
  • 2.2 Сумма сторон
  • 2.3 Несовместимые стороны
  • 2.4 Неконгруэнтные углы
  • 2.5 Высота, медиана, биссектриса и биссектриса не совпадают
  • 2.6 Ортоцентр, барицентр, стимулятор и околицентр не совпадают
  • 2.7 Относительные высоты
• 3 Как рассчитать периметр?
• 4 Как рассчитать площадь?
• 5 Как рассчитать высоту?
• 6 Как рассчитать стороны?
• 7 упражнений
  • 7.1 Первое упражнение
  • 7.2 Второе упражнение
  • 7.3 Третье упражнение
• 8 ссылок

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Характеристики разносторонних треугольников

Масштабные треугольники являются простыми многоугольниками, потому что ни одна из их сторон или углов не имеет одинаковую меру, в отличие от равнобедренных и равносторонних треугольников..

Поскольку все его стороны и углы имеют разные измерения, эти треугольники считаются неправильными выпуклыми многоугольниками.

По амплитуде внутренних углов разносторонние треугольники классифицируются как:

• Шкала прямоугольник треугольник: все его стороны разные. Один из его углов прямой (90 или ) а остальные резкие и с разными мерами.
• Шкала тупого угла треугольника: все его стороны разные, и один из его углов тупой (> 90 или ).
• Шкала острого угла треугольника: все его стороны разные. Все его углы острые ( или ), с разными мерами.

Еще одной характеристикой разносторонних треугольников является то, что из-за несовместимости их сторон и углов они не имеют оси симметрии.

компоненты

Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.

Биссектриса: это луч, который делит каждый угол на два угла одинакового размера. Биссектрисы треугольника совпадают в точке, называемой incentro.

Посредник: это сегмент, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатрицы, совпадающие в точке, называемой окружностью.

Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

свойства

Масштабные треугольники определены или идентифицированы, потому что они имеют несколько свойств, которые их представляют, возникших из теорем, предложенных великими математиками. Это:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180 или .

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Непоследовательные стороны

Все стороны разносторонних треугольников имеют разные размеры или длины; то есть они неуместны.

Несогласованные углы

Поскольку все стороны разностороннего треугольника различны, их углы также будут разными. Однако сумма внутренних углов всегда будет равна 180º, и в некоторых случаях один из ее углов может быть тупым или прямым, в то время как в других все его углы будут острыми.

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса не совпадают

Как и любой другой треугольник, в составной части есть несколько отрезков прямых линий, составляющих его, например: высота, медиана, биссектриса и биссектриса..

Из-за особенностей его сторон, в этом типе треугольника ни одна из этих линий не будет совпадать в одной.

Ортоцентр, барицентр, стимулятор и центр окружности не совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса представлены различными отрезками прямых линий, в разностороннем треугольнике точки встречи — ортоцентр, центроцентр, стимулятор и окрицентр — будут находиться в разных точках (они не совпадают).

В зависимости от того, является ли треугольник острым, прямоугольным или разносторонним, ортоцентр имеет разные местоположения:

а. Если треугольник острый, ортоцентр будет внутри треугольника.

б. Если треугольник является прямоугольником, ортоцентр будет совпадать с вершиной прямой стороны.

с. Если треугольник тупой, ортоцентр будет находиться снаружи треугольника..

Относительные высоты

Высоты относительно сторон.

В случае разностороннего треугольника эти высоты будут иметь разные измерения. Каждый треугольник имеет три относительных высоты и для их расчета используется формула Герона.

Видео:Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника рассчитывается по сумме сторон.

Так как в этом случае разносторонний треугольник имеет все стороны с различной мерой, его периметр будет:

P = сторона a + сторона b + сторона c.

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле, умножая основание на высоту и деля на два:

Площадь = (база _* ч) ÷ 2

В некоторых случаях высота разностороннего треугольника неизвестна, но есть математическая формула, предложенная математиком Хероном, для расчета площади, зная измерение трех сторон треугольника..

• a, b и c, представляют стороны треугольника.
• sp, соответствует полупериметру треугольника, то есть половине периметра:

В случае, если у вас есть измерение только двух сторон треугольника и угла, который сформирован между ними, площадь может быть рассчитана путем применения тригонометрических соотношений. Итак, вы должны:

Площадь = (сторона _* ч) ÷ 2

Где высота (h) — произведение одной стороны на синус противоположного угла. Например, для каждой стороны площадь будет:

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как рассчитать высоту?

Поскольку все стороны разностороннего треугольника различны, вычислить высоту с помощью теоремы Пифагора невозможно.

Из формулы Герона, которая основана на измерениях трех сторон треугольника, можно вычислить площадь.

Высота может быть очищена от общей формулы площади:

Сторона заменяется измерением стороны a, b или c.

Другой способ вычислить высоту, когда известно значение одного из углов, состоит в применении тригонометрических соотношений, где высота будет представлять ногу треугольника..

Например, когда известен противоположный угол к высоте, он будет определяться синусом:

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

Как рассчитать стороны?

Если у вас есть мера двух сторон и угол, противоположный этим, можно определить третью сторону, применив теорему косинусов.

Например, в треугольнике AB показана высота относительно сегмента AC. Таким образом, треугольник делится на два прямоугольных треугольника.

Для вычисления c-стороны (отрезок AB) применяется теорема Пифагора для каждого треугольника:

• Для синего треугольника вы должны:

Поскольку m = b — n, оно заменяется:

с 2 = ч 2 + б 2 (б — н) 2

с 2 = ч 2 + б 2 — 2 млрд + н 2 .

• Для розового треугольника вы должны:

час 2 = а 2 — N 2

Он заменяется в предыдущем уравнении:

с 2 = а 2 — N 2 + б 2 — 2 млрд + н 2

с 2 = а 2 + б 2 — 2BN.

Зная, что п = а _* cos C, заменяется в предыдущем уравнении, и получается значение стороны c:

с 2 = а 2 + б 2 — 2b_* в _* потому что C.

По закону косинусов стороны могут быть рассчитаны как:

• в 2 = б 2 + с 2 — 2b_* с _* потому что.
• б 2 = а 2 + с 2 — 2-й_* с _* потому что B.
• с 2 = а 2 + б 2 — 2b_* в _* потому что C.

Есть случаи, когда размеры сторон треугольника неизвестны, но их высота и углы, которые образуются в вершинах. Для определения площади в этих случаях необходимо применять тригонометрические соотношения.

Зная угол одной из его вершин, ноги идентифицируются и используется соответствующее тригонометрическое соотношение:

Например, катет AB будет противоположен углу C, но прилегает к углу A. В зависимости от стороны или катета, соответствующих высоте, другая сторона очищается, чтобы получить значение этого.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

обучение

Первое упражнение

Рассчитайте площадь и высоту разностороннего треугольника ABC, зная, что его стороны:

решение

В качестве данных приведены измерения трех сторон разностороннего треугольника.

Поскольку у вас нет значения высоты, вы можете определить площадь, применяя формулу Герона..

Сначала рассчитывается полупериметр:

sp = (8 см + 12 см + 16 см) ÷ 2

Теперь значения в формуле Герона заменены:

Зная площадь, можно рассчитать относительную высоту на стороне b. Из общей формулы, очистив ее, вы получите:

Площадь = (сторона _* ч) ÷ 2

46, 47 см 2 = (12 см _* ч) ÷ 2

ч = (2 _* 46,47 см 2 ) ÷ 12 см

h = 92,94 см 2 ÷ 12 см

Второе упражнение

Учитывая разносторонний треугольник ABC, меры которого:

• Сегмент AB = 25 м.
• Сегмент БК = 15 м.

В вершине B образуется угол 50 °. Рассчитайте относительную высоту в сторону с, периметр и площадь этого треугольника.

решение

В этом случае у вас есть меры двух сторон. Для определения высоты необходимо рассчитать измерение третьей стороны.

Поскольку задан угол, противоположный заданным сторонам, можно применить закон косинусов для определения измерения стороны переменного тока (b):

б 2 = а 2 + с 2 — 2-й_*с _* потому что B

б = переменный ток.

б 2 = (225) + (625) — (750) _* 0,6427

б 2 = (225) + (625) — (482,025)

Поскольку у вас уже есть значение трех сторон, рассчитайте периметр этого треугольника:

P = сторона a + сторона b + сторона c

Р = 15 м + 25 м + 19, 18 м

Теперь можно определить площадь, применяя формулу Герона, но сначала необходимо рассчитать полупериметр:

Измерения сторон и полупериметра заменяются формулой Герона:

Наконец, зная площадь, можно рассчитать относительную высоту на стороне c. Из общей формулы, очистив ее, вы должны:

Площадь = (сторона _* ч) ÷ 2

143,63 м 2 = (25 м _* ч) ÷ 2

ч = (2 _* 143,63 м 2 ) ÷ 25 м

h = 287,3 м 2 ÷ 25 м

Третье упражнение

В разностороннем треугольнике ABC сторона b имеет размер 40 см, сторона c имеет размер 22 см, а в вершине A образуется угол 90 или . Рассчитайте площадь этого треугольника.

решение

В этом случае даны измерения двух сторон разностороннего треугольника ABC, а также угла, образованного в вершине A.

Для определения площади нет необходимости вычислять меру стороны а, поскольку через тригонометрические соотношения угол используется для ее нахождения.

Так как угол, противоположный высоте, известен, это будет определяться произведением с одной стороны и синусом угла.

Подставляя в формулу площади, вы должны:

Площадь = (40 см _* 22 см _* сен 90) ÷ 2

Площадь = (40 см _* 22 см _* 1) ÷ 2

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как рассчитать площадь участка треугольной формы

Наверно, даже тот, кто в школе был отъявленным троечником, ответит на этот вопрос утвердительно. И в самом деле – формула проста и легко запоминается: нужно лишь длину основания умножить на длину опущенного до этого основания из противолежащего угла перпендикуляра (высоты), и затем разделить на два. С прямоугольным треугольником – вообще красота: перемножай длины катетов – и половина от полученного произведения как раз и будет площадью фигуры.

Ответ почти на «пятерку»! Ну а прочему – «почти»? Потому что это не единственный способ, а зачастую – и весьма труднореализуемый.

Вы полностью уверены, что знаете, как рассчитывается площадь треугольника?

Главный редактор проекта Stroyday.ru. Инженер.

Например, при работе на местности, в условиях, когда треугольник – явно не прямоугольный, а без специального геодезического инструмента сложно отбить точный перпендикуляр. Вы полностью уверены, что знаете, как рассчитывается площадь треугольника в таких условиях? Нет ли какого-нибудь метода, что позволял бы избежать дополнительных построений или вычерчиваний схем в масштабе? Скажем, можно было бы обойтись только промером длин сторон с помощью рулетки?

Да, такой метод тоже существует, вот только помнят о нем не все. По все видимости потому что лежащая в его основе формула Герона — довольно-таки «тяжеловесная», не располагающая к быстрому и четкому запоминанию.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Рассчитываем площадь треугольника по формуле Герона

Многим может показаться, что расчет площади треугольника – вообще мало кому нужное занятие. Ведь на практике при строительстве, проведении ремонта, при работах на территории участка чаще приходится иметь дело с четырёхугольниками.

Возможно, это и так, но треугольник тоже очень часто может пригодиться.

• Ну, во-первых, не надо делать категоричных заключений. Нечасто, но встречаются и треугольные территории. А если говорить о разбивке этой территории на зоны, особенно при использовании радиального принципа, то есть от центра по расходящимся к периферии лучам – треугольников может получиться больше чем достаточно. Нельзя совсем исключить треугольники и в области архитектуры — тому тоже немало примеров.

Не так часто, но все же встречающееся явление – треугольники и на местности, и воплощённые в архитектурные формы.

• А во-вторых, и это главное, знание этого вопроса поможет вам «бороться» и с куда более сложными фигурами. Ведь любой многоугольник, независимо от количества его вершин, можно воображаемыми секущими линиями разбить на совокупность прилегающих друг к другу треугольников различной формы и размеров.

Совершенно произвольная сложная фигура разбита секущими линиями на пять треугольников.

И если знать формулу вычисления площади только по длине сторон, то не придется делать каких-то дополнительных построений. То есть меряй себе рулеткой расстояния от точки до точки – и считай!

Правда, формула одним своим видом быстро развеивает оптимизм:

Формула Герона:

S = √ (p × (p – а) × (p – b) × (p – c))

S — площадь треугольника;

a b c — длины сторон треугольника;

p — полупериметр треугольника, то есть

p = (a + b + c) / 2

М-да,, так просто, в уме – и не подсчитаешь, Тем более что в формуле присутствует еще и квадратный корень…

А в уме и не надо – это очень точно и быстро сделает за вас онлайн-калькулятор, размещенный ниже.

Калькулятор расчета площади треугольного участка

Тот редкий случай, когда никаких пояснений по расчету, должно быть, и не требуется. Знай себе, подставляй промеренные длины сторон – и получай готовый результат.

А как быть с остальными фигурами?

С многоугольными – понятно. А если присутствуют ещё и округлые формы? Приходится разбираться с каждым случаем индивидуально, и очень часто для этого отыскивается то или иное приемлемое решение. Разбор интересных с точки зрения геометрии вариантов проведен в специальной статье нашего портала, посвященной именно расчету площадей .

Понравилась статья?
Сохраните, чтобы не потерять!

🎬 Видео

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Площадь треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

№546. План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображенного наСкачать

Площади треугольникаСкачать

Площадь треугольника через периметр и радиусСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать