Угол с равен 68 градусов вписана окружность

В угол С равен угловой величине

В угол С равен угловой величине 68° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол ∠АОВ.
Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол A и B прямые, так как ОA и OB радиусы проведенные к касательным.
СО — биссектриса, так как равноудалена от сторон угла.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность
∠OCB = 68°:2=34°
Найдем угол ∠COB из прямоугольного треугольника ∆COB
(сумма углов в треугольнике равна 180 градусам):
180°-34°-90°=56°

Найдем угол ∠AOB:
∠AOB=2∠COB
2•56=112° градусов

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Видео:🔴 В угол C, равный 79°, вписана окружность ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В угол C, равный 79°, вписана окружность ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

В угол $C$, равный $68^$.

Задание:

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Решение:

Первое решение:

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы $CAO$ и $CBO$ прямые, т.е. по $90^$. В четырехугольнике $AOBC$ сумма углов равна $360^$, значит, угол $AOB$ будет равен $360^-90^-90^-83^=112^$.

Второе решение:
Углы $CAO$ и $CBO$ прямые, так как $OA$ и $OB$ радиусы проведенные к касательным. $CO$ — биссектриса, так как равноудалена от сторон угла, а биссектриса делит угол пополам, это значит, что угол $OCB$ равен $68^div 2=34^$.

Найдем угол $COB$ из прямоугольного треугольника $COB$, при этом мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна $180^$: $180^-34^-90^=56^$. А ранее мы писали, что биссектриса делит угол пополам, значит, угол $AOB$ будет равен $56^cdot 2=112^$.

Видео:🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Угол с 68 градусов в окружность

Видео:На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружностиСкачать

На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружности

В угол С равен угловой величине

В угол С равен угловой величине 68° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол ∠АОВ.
Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол A и B прямые, так как ОA и OB радиусы проведенные к касательным.
СО — биссектриса, так как равноудалена от сторон угла.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность
∠OCB = 68°:2=34°
Найдем угол ∠COB из прямоугольного треугольника ∆COB
(сумма углов в треугольнике равна 180 градусам):
180°-34°-90°=56°

Найдем угол ∠AOB:
∠AOB=2∠COB
2•56=112° градусов

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Видео:В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Решение №2117 На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 68°. Найдите угол NMB.

На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 68°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

AB – диаметр, делит окружность на две равные части по:

360°/2 = 180°

Заметим, что дуги на которые опираются ∠NBA и ∠NMB в сумме дают 180°:

‿AN + ‿NB = 180°

Дуга ‿AN в два раза больше угла который на неё опирается:

‿AN = 2·∠NBA = 2·68º = 136°

136° + ‿NB = 180°
‿NB = 180° – 136° = 44°

∠NMB равен половине дуги ‿NB на которую опирается:

∠NMB = ‿NB/2 = 44°/2 = 22°

Видео:Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №16.Скачать

Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №16.

Углы, связанные с окружностью

Угол с равен 68 градусов вписана окружностьВписанные и центральные углы
Угол с равен 68 градусов вписана окружностьУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол с равен 68 градусов вписана окружностьДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника ЯщенкоСкачать

ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника Ященко

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголУгол с равен 68 градусов вписана окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.Вписанный уголУгол с равен 68 градусов вписана окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хордыВписанный уголУгол с равен 68 градусов вписана окружностьДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хордыВписанный уголУгол с равен 68 градусов вписана окружностьВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметрОкружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол с равен 68 градусов вписана окружностьУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружностьУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружностьУгол, образованный касательной и секущейУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружностьУгол, образованный двумя касательными к окружностиУгол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

В этом случае справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

В этом случае справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Угол с равен 68 градусов вписана окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

📹 Видео

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)

ОГЭ 2021 Задание 16Скачать

ОГЭ 2021 Задание 16

Задача 17. ОГЭСкачать

Задача 17. ОГЭ

ОГЭ 2023 по математике. Геометрия. Окружность, свойства. Решение №16, 23, 24Скачать

ОГЭ 2023 по математике. Геометрия. Окружность, свойства. Решение №16, 23, 24

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45

ОГЭ 2020 Задание 17Скачать

ОГЭ 2020 Задание 17

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

2017 на окружности по разные стороны от диаметра AB взяты Точки M и NСкачать

2017 на окружности по разные стороны от диаметра AB взяты Точки M и N

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Формула: Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Формула: Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол с равен 68 градусов вписана окружность
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол с равен 68 градусов вписана окружность