Какое из следующих утверждений верно?
1. Все углы ромба равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Рассмотрим каждое из утверждений:
1. Все углы ромба равны — неверно, так как у ромба равны стороны, а не углы.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой — верно согласно свойству вписанных углов.
3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны — неверно, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр
(следствие из теоремы о вписанном угле)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Дано:
Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.
∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
Что и требовалось доказать.
Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.
Другой вариант формулировки следствия:
Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.
Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
🎦 Видео
УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА! ЛОНДОН! Решаем по-взрослому.Скачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
Две великолепные задачи! Секретные способы решения!Скачать
✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать
Задача первоклассника в 1 шаг! Невероятное решение!Скачать
Геометрия . 8 класс. Урок 01 "Окружность"Скачать
СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать
окружности огэ по математике 2023 / маттаймСкачать
Модуль Геометрия. ОГЭ математика 🔴Скачать
Геометрия, 9 класс | Метрические соотношения в окружностиСкачать
[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...Скачать