Угол между векторами задан в ортонормированном базисе (6 видео)

Угол между двумя векторами

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Как известно скалярное произведение ненулевых векторов x и y называется произведение

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Так как рассматривается пространство с ортонормированным базисом, то скалярное произведение можно вычислить также из выражения

координаты векторов x и y соответственно.

Из выражений (1) и (2) следует, что косинус угла между двумя векторами равен

И, следовательно, угол между двумя векторами будет равен

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x= AB и y= CD, где ,,,.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

При таком перемещении угол между векторами x и y равен углу между векторами x’ и y’. Следовательно косинус угла между двумя векторами равен:

Угол между двумя векторами будет равен:

Содержание

Примеры вычисления угла между двумя векторами
1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ
💥 Видео

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Примеры вычисления угла между двумя векторами

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пример . Найти угол между векторами x=(7,2) и y=(4,5).

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,2) и y=(4,5).

Для вычисления угла между векторами x и y, вычислим нормы векторов x и y:

Косинус угла между векторами x и y, будет равен:

Из выражения (5) вычисляем угол φ:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пример . Найти угол между векторами x= AB и y= CD, где A(-1,1), B(3, 7), C(3,2), D(12,5).

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x= AB и y= CD.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками): x’=(3-(-1),7-1)=(4,6), y’=(12-3,5-2)=(9,3).

Угол φ между векторами x и y равен углу φ’ между векторами x’ и y’. Поэтому вычисляя угол φ’ , получим угол между векторами x и y.

Вычислим норму векторов x’ и y’:

Косинус угла между векторами x’ и y’:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Возвращаемся к нашим треугольникам:

Задача 31

Даны три вершины треугольника . Найти .

Решение: по условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: , и дальнейшее понятно. Найдём векторы и их длины:

Вычислим скалярное произведение:

Таким образом:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую «чайникам». Более подготовленные читатели могут записать вычисления «одной строкой»:

Косинус получился «плохим» (не табличным), однако, это не окончательный ответ задачи, и поэтому, к слову, не имеет особого смысла избавляться от корня в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки можно использовать Алгебраический Калькулятор (см. Приложения) или даже измерить угол транспортиром (у кого он есть). Только не повредите покрытие монитора =)

Ответ:
В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Задача 32

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин , . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения, и, конечно же, задачка творческая, повторяем взаимосвязь между углом и знаком скалярного произведения:

Задача 33

При каком значении угол между векторами будет: а) острым, б) прямым, в) тупым?

Решение и ответ в конце книги.

Следующий небольшой параграф будет посвящен ортогональным проекциям векторов, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Свойство первое следует из определения скалярного произведения: .

Второе и третье свойства следуют из линейных свойств проекции вектора на ось (направление): (эти свойства проекции доказываются при рассмотрении вектора в ортонормированном базисе). Используя линейные свойства проекции, получим:

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ

Скалярным квадратом называется скалярное произведение и обозначается символом ; по определению .

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Из определения следует .

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Доказательство необходимости. Пусть , тогда .

Доказательство достаточности. Пусть или , тогда, либо хотя бы один из множителей есть нулевой вектор и , так как направление нулевого вектора неопределенно, либо тогда .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат множителей.

Доказательство. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис и векторы и имеют в этом базисе координаты соответственно и , т.е. . Тогда, используя свойства скалярного произведения, будем иметь

Так как , то окончательно получим:

МОДУЛЬ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Из формулы для скалярного произведения при получим

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

Если , то необходимое и достаточное условие ортогональности запишется в виде

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Определение. Направляющими косинусами вектора в заданном базисе называются косинусы углов между вектором и базисными векторами.

Пусть – базисные векторы ортонормированного базиса и – углы между вектором и векторами соответственно.

Направляющими косинусами вектора будут . Если , то из , так как . Аналогично имеем

Замечание. Для любого вектора имеем

ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ

В ортонормированном базисе координаты вектора равны проекциям этого вектора на направления соответствующих базисных векторов.

Действительно, если ,то , но , следовательно, . Аналогично .

Если , то из суммы векторов и произведения вектора на число следует, что проекция вектора обладает свойствами линейности.

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

2. Выведите условие ортогональности двух векторов.

3. Докажите формулу скалярного произведения векторов в ортогональном базисе.

4. Напишите формулу модуля вектора в ортонормированном базисе.

5. Выведите условие ортогональности двух векторов в ортогональном базисе.

§6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. и ;

3. Упорядоченная тройка векторов образует правую тройку (с конца вектора поворот на наименьший угол от первого сомножителя ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 14)).

Векторное произведение на обозначается символом или .

Угол между векторами задан в ортонормированном базисе

D C

B Рис. 15.

Рис. 14.

Замечания. 1. Модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 15). Действительно, площадь параллелограмма ABCD равна

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Необходимость и достаточность этого условия следует из определения векторного произведения.

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. (антикоммутативность);

2. (ассоциативность относительно числового множителя);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов).

Это свойство примем без доказательства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть , тогда из . Векторы и ортогональны плоскости, в которой лежат векторы и , следовательно, .

По определению с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а это возможно при .

Следовательно, имеем, что и , т. е. или .

Рис. 16.

2. Пусть . По определению векторного произведения имеем ; при (рис.16), при имеем , откуда , т.е. . Наконец, , где , . Так как или , то в любом случае , следовательно, . Итак, получим, что и , т. е. или .