Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Sin, Cos, tg, ctg.
Разработка урока по математике «Запись углов, заданных точками единичной окружности»
Разделы: Математика
Цель. Показать учащимся приём построения “табличных” и связанных с ними углов без транспортира. Научить записывать значения углов, соответствующих указанным точкам единичной окружности.
Оборудование.
I. Организационный момент.
Постановка цели, мотивация учения.
Чтобы лучше понять и запомнить расположение точек на единичной окружности, мы познакомимся с приёмами построения “табличных” (30°, 45°, 60°) и связанных с ними углов без транспортира. Это позволит в дальнейшем не только легче освоить радианную меру угла, но и быстрее находить значения тригонометрических функций, хорошо решать простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, системы.
II. Новый материал.
(фронтальная форма учебной работы)
1.1. Начертите на определённых листах и на доске координатную плоскость и окружность с центром в начале координат радиусом равным 1.
1.2. Определение единичной окружности (учащиеся)
1.3. Понятие узловых точек (пересечения единичной окружности и осей координат)
2.1. Отметим угловые точки на единичной окружности и запишем соответствующие им углы (0°, 90°, 180°, 360°)
(учащиеся работают у доски и на своих моделях единичной окружности).
Положительные углы против хода часовой стрелки (одним цветом).
Отрицательные углы – по часовой стрелке (другим цветом).
Все углы записываем внутри окружности.
3.1. Как построить точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°?
( делением пополам координатных углов).
3.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем на отдельно приготовленном плакате рассказывают приём построение точек, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.
3.3. Данный приём применяется к единичной окружности на доске и к своим моделям. Отмечают точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.
4.1. Как построить точки соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°?
( делением пополам вертикальных радиусов).
4.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют построение данных углов.
4.3. На демонстрационной модели и своих моделях единичных окружностей отмечают точки, соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°.
5.1. Как построить точки соответствующие углам 60°, 120°, 240°, 300°?
( делением пополам горизонтальных радиусов).
5.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют приём построения данных углов
5.3. Учащиеся отмечают данные углы на демонстрационной модели и на своих моделях, используя предложенный приём.
6.1. Выразим в радианной мере величины углов
360 0 =
180 0 =
— 900 0 =
270 0 =
-180 0 =
6.2. Около каждой из отмеченных точек единичной окружности запишем им соответствующие углы в радианах. (Вычисления на доске. Пример.)
(неотрицательные числа пишем одним цветом, а отрицательные другим).
7.1. Запоминанию данных углов помогает “Считалка”.
(карточки со “ Считалками” разложены на ученических столах перед началом урока).
а) “Ра пи на два” (
/2)
“Два пи на два” ()
“Три пи на два” (3/2 )
б) “Раз пи на четыре” (/4)
“Два пи на четыре” (2/4)
“Три пи на четыре” (3/4)
8. Запись углов, соответствующих одной точке единичной окружности
Пусть на окружности дана точка Р 
, которая получается повтором точки Р0 на угол .
При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем на исходную точку Р . Значит, точке Р наравне с числом соответствует любое число вида +2п, п ЄZ.
На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам, запишите все такие углы, используя градусную меру и радианную.
0 =45 0 , любой другой угол отличается от угла 
0 на 360 0 п, п ЄZ.
Запишем: =45 0 +360 0 п, п Є Z; 
III. Проверка усвоения изученного.
Для всех учащихся карточки с заданиями самостоятельной работы (записываем только ответы).
1.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам 
и 
, заключённым в промежутке от 0 0 до 360 0 . Выразите углы и в градусах.
2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 
радиан. Выразите углы и , в радианах
3.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите и в радианах.
4. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и . Запишите все углы и , используя градусную меру.
5. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и . Запишите все углы и , используя радианную меру.
IV . Итоги самостоятельной работы.
(взаимопроверка, ответы на экране через кодоскоп, за каждый правильный ответ +, за неверный -).
1.
= 180 0; ;
2. = 
; =
3. = 
; =
=30 0 +360 0 п, п Є Z =150 0 +360 0 k; k Є Z
5. = 
+ 2п, п Є Z ; = 
+ 2k; k Є Z
Подводим итоги. Систематизируем полученные знания.
V. Определение домашнего задания (карточки)
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,