Углы окружности от 0 до 2п (7 видео) | Курс школьной геометрии

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Sin, Cos, tg, ctg.

Раздел: Таблицы численных значений + Таблицы Брадиса:

Содержание

Разработка урока по математике «Запись углов, заданных точками единичной окружности»
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
📺 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Разработка урока по математике «Запись углов, заданных точками единичной окружности»

Разделы: Математика

Цель. Показать учащимся приём построения “табличных” и связанных с ними углов без транспортира. Научить записывать значения углов, соответствующих указанным точкам единичной окружности.

Оборудование.

Модель единичной окружности (плакат).

Плакат единичной окружности, где показаны приёмы построения “табличных” углов.

Карточки самостоятельных работ.

Карточки с домашними заданиями.

Карточки – “считалочки”.

Геометрические инструменты.

Фломастеры, цветной мел.

Кодоскоп.

I. Организационный момент.

Постановка цели, мотивация учения.

Чтобы лучше понять и запомнить расположение точек на единичной окружности, мы познакомимся с приёмами построения “табличных” (30°, 45°, 60°) и связанных с ними углов без транспортира. Это позволит в дальнейшем не только легче освоить радианную меру угла, но и быстрее находить значения тригонометрических функций, хорошо решать простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, системы.

II. Новый материал.

(фронтальная форма учебной работы)

1.1. Начертите на определённых листах и на доске координатную плоскость и окружность с центром в начале координат радиусом равным 1.

1.2. Определение единичной окружности (учащиеся)

1.3. Понятие узловых точек (пересечения единичной окружности и осей координат)

2.1. Отметим угловые точки на единичной окружности и запишем соответствующие им углы (0°, 90°, 180°, 360°)

(учащиеся работают у доски и на своих моделях единичной окружности).

Положительные углы против хода часовой стрелки (одним цветом).

Отрицательные углы – по часовой стрелке (другим цветом).

Все углы записываем внутри окружности.

3.1. Как построить точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°?

( делением пополам координатных углов).

3.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем на отдельно приготовленном плакате рассказывают приём построение точек, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.

3.3. Данный приём применяется к единичной окружности на доске и к своим моделям. Отмечают точки, соответствующие углам 45°, 135°, 225°, 315°.

4.1. Как построить точки соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°?

( делением пополам вертикальных радиусов).

4.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют построение данных углов.

4.3. На демонстрационной модели и своих моделях единичных окружностей отмечают точки, соответствующие углам 30°, 150°, 210°, 330°.

5.1. Как построить точки соответствующие углам 60°, 120°, 240°, 300°?

( делением пополам горизонтальных радиусов).

5.2. Учащиеся предлагают свои варианты. Затем по готовому плакату объясняют приём построения данных углов

5.3. Учащиеся отмечают данные углы на демонстрационной модели и на своих моделях, используя предложенный приём.

6.1. Выразим в радианной мере величины углов

360 0 =

180 0 =

— 900 0 =

270 0 =

-180 0 =

6.2. Около каждой из отмеченных точек единичной окружности запишем им соответствующие углы в радианах. (Вычисления на доске. Пример.)

(неотрицательные числа пишем одним цветом, а отрицательные другим).

7.1. Запоминанию данных углов помогает “Считалка”.

(карточки со “ Считалками” разложены на ученических столах перед началом урока).

а) “Ра пи на два” (/2)

“Два пи на два” ()

“Три пи на два” (3/2 )

б) “Раз пи на четыре” (/4)

“Два пи на четыре” (2/4)

“Три пи на четыре” (3/4)

8. Запись углов, соответствующих одной точке единичной окружности

Пусть на окружности дана точка Р , которая получается повтором точки Р₀ на угол .

При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем на исходную точку Р . Значит, точке Р наравне с числом соответствует любое число вида +2п, п ЄZ.

На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам, запишите все такие углы, используя градусную меру и радианную.

₀ =45 0 , любой другой угол отличается от угла ₀ на 360 0 п, п ЄZ.

Запишем: =45 0 +360 0 п, п Є Z;

III. Проверка усвоения изученного.

Для всех учащихся карточки с заданиями самостоятельной работы (записываем только ответы).

1.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 0 до 360 0 . Выразите углы и в градусах.

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите углы и , в радианах

3.На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и , заключённым в промежутке от 0 до 2 радиан. Выразите и в радианах.

4. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и . Запишите все углы и , используя градусную меру.

5. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам и . Запишите все углы и , используя радианную меру.

IV . Итоги самостоятельной работы.

(взаимопроверка, ответы на экране через кодоскоп, за каждый правильный ответ +, за неверный -).

1. = 180 0; ; = 270

2. = ; =

3. = ; =

=30 0 +360 0 п, п Є Z =150 0 +360 0 k; k Є Z

5. = + 2п, п Є Z ; = + 2k; k Є Z

Подводим итоги. Систематизируем полученные знания.

V. Определение домашнего задания (карточки)

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,