С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):
 |
Можно дать и другие определение квадрата.
Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).
- Свойства квадрата
- Диагональ квадрата
- Окружность, вписанная в квадрат
- Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
- Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
- Окружность, описанная около квадрата
- Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
- Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
- Периметр квадрата
- Признаки квадрата
- Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18 корней из 2
- Решение №2545 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 5√2.
- 🎦 Видео
Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать
Свойства квадрата
- Длины всех сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
      |
Видео:2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2Скачать
Диагональ квадрата
Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.
 |
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
 . | (1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . | (2) |
Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.
Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Задание 16 Часть 3Скачать
Окружность, вписанная в квадрат
Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):
 |
Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
 | (3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать
Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
 | (4) |
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
 |
Ответ: 
Видео:2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2Скачать
Окружность, описанная около квадрата
Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):
 |
Видео:ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать
Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.
Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:
 |
 | (5) |
Из формулы (5) найдем R:
 |
 | (6) |
или, умножая числитель и знаменатель на 
, получим:
 . | (7) |
Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Урок 2. Вписанная и описанная окружность в квадрат. Задача из ОГЭСкачать
Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.
Из формулы (1) выразим a через R:
 |
 . | (8) |
Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен 
Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя 
в (8), получим:
 |
Ответ: 
Видео:16,17,18 ОГЭСкачать
Периметр квадрата
Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:
 | (9) |
где 
− сторона квадрата.
Пример 6. Сторона квадрата равен 
. Найти периметр квадрата.
Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:
 |
Ответ: 
Видео:Решение задания 17 #2 для подготовки к сдаче ОГЭ 2020 по математикеСкачать
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. 
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
 |
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
 | (10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
  | (11) |
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
 | (12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
  | (13) |
Из (13) следует, что
 | (14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Видео:18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадратаСкачать
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18 корней из 2
Задание 17. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 3√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности (см. красная линия на рисунке ниже), то есть,
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата (половина синей линии), то есть,
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Решение №2545 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 5√2.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 5√2 (см. рис. 12). Найдите длину стороны этого квадрата.
Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)
Проведём диагональ АС квадрата. ΔАВС прямоугольный, вписанный в окружность, значит его гипотенуза АС является диаметром , найдём её:
АС = R + R = AO + OC = 5√2 + 5√2 = 10√2
Обозначим стороны квадрата за х . Найдём сторону квадрата их прямоугольного ΔАВС по теореме Пифагора:
АВ 2 + ВС 2 = АС 2
х 2 + х 2 = (10√2) 2
2х 2 = 100·2 |:2
x 2 = 100
x = √100 = 10
Ответ: 10.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 2 / 5. Количество оценок: 1
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.
🎦 Видео
СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать
Задача 17. ОГЭСкачать
Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать
Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать
16/2 фипи вписанная окружность ОГЭ математикаСкачать
Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать
