У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Следовательно, справедливо равенство

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности,

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Доказательство . Перемножим формулы

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

МАТЕМАТИКА

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису У любого треугольника есть три вневписанных окружности. Затем продолжим эту биссектрису за точку У любого треугольника есть три вневписанных окружностидо пересечения в точке У любого треугольника есть три вневписанных окружностис биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка У любого треугольника есть три вневписанных окружностилежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка У любого треугольника есть три вневписанных окружностиравноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром У любого треугольника есть три вневписанных окружности, касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Положение центра У любого треугольника есть три вневписанных окружностивневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки У любого треугольника есть три вневписанных окружности, В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром У любого треугольника есть три вневписанных окружности(рис.4), – это следует из того, что углы У любого треугольника есть три вневписанных окружностии У любого треугольника есть три вневписанных окружностипрямые.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Можно сказать, таким образом, что точка У любого треугольника есть три вневписанных окружностипредставляет собой точку пересечения прямой У любого треугольника есть три вневписанных окружностии окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы У любого треугольника есть три вневписанных окружностис описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника У любого треугольника есть три вневписанных окружности. Проведем из точек O, D и У любого треугольника есть три вневписанных окружностиперпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но У любого треугольника есть три вневписанных окружности, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть У любого треугольника есть три вневписанных окружности– радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, У любого треугольника есть три вневписанных окружностии У любого треугольника есть три вневписанных окружности– радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Пусть У любого треугольника есть три вневписанных окружностии У любого треугольника есть три вневписанных окружности– точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем У любого треугольника есть три вневписанных окружностилежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен У любого треугольника есть три вневписанных окружности, а периметр большого треугольника равен

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников У любого треугольника есть три вневписанных окружностии У любого треугольника есть три вневписанных окружности( У любого треугольника есть три вневписанных окружностии У любого треугольника есть три вневписанных окружности– центры вневписанных окружностей) находим У любого треугольника есть три вневписанных окружности. Но отрезок У любого треугольника есть три вневписанных окружностиравен полупериметру большого треугольника, то есть У любого треугольника есть три вневписанных окружности.

Поэтому из полученной пропорции можно найти У любого треугольника есть три вневписанных окружности:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Математика. Вневписанные окружности. Свойства. Теоремы + доказательство

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Вневписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Таких окружностей, в отличие от вписанной, для любого треугольника существует ровно 3.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника.

Теорема. У любого треугольника есть три вневписанных окружности.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах BB и CC пересекаются в точке OaOa.

Тогда точка OaOa равноудалена от прямых AB,BCAB,BC и ACAC.

Следовательно, точка OaOa лежит на биссектрисе угла AA.

Обозначим расстояние от точки OaOa до стороны BCBC за rara.

Тогда окружность с центром в точке OaOa и радиусом rara касается стороны BCBC и продолжений сторон ABAB и ACAC, то есть является вневписанной окружностью данного треугольника.

Аналогично можно построить вневписанные окружности с центрами в точках ObOb и OcOc, касающиеся сторон ACAC и BABA соответственно.

Свойства вневписанной окружности

Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса AA1AA1 пересекается с окружностью, описанной около этого треугольника, в точке DD. Тогда точка DD является центром окружности, описанной около четырёхугольника BOCOaBOCOa, где OO – центр окружности, вписанной в треугольник ABCABC, а OaOa – центр вневписанной окружности.

Точка OO, как центр окружности, вписанной в треугольник ABCABC, лежит на биссектрисе угла BB, а точка OaOa, как центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла, смежного с углом BB.

Вспомним, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Следовательно ∠OBOa=90∘∠OBOa=90∘. Аналогично ∠OCOa=90∘∠OCOa=90∘.

Следовательно, около четырёхугольника BOCOaBOCOa можно описать окружность.

Пусть продолжение биссектрисы AA1AA1 и BB1BB1 пересекают окружность, описанную около треугольника ABCABC в точке DD и EE.

Так как ADAD и BEBE – биссектрисы, то ⌢BD=⌢DC,⌢AE=⌢ECBD⌢=DC⌢,AE⌢=EC⌢.

Обозначим эти пары углов соответственно αα и ββ.

Тогда ∠EBD=α+β2∠EBD=α+β2, так как он вписанный, а ∠BOD=α+β2∠BOD=α+β2.

Следовательно, в треугольнике BODBOD углы при основании BODBOD равны, то есть он равнобедренный BD=DOBD=DO.

Таким образом BD=DO=OCBD=DO=OC.

Таким образом точка DD равноудалена от всех вершин треугольник BOCBOC, и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Но эта окружность является также окружностью, описанной около четырёхугольника BOCOaBOCOa.

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть вневписанная окружность ωa(Oa,ra)ωa(Oa,ra) и вписанная окружность ω(O,r)ω(O,r) касаются стороны BCBC в точках PP и QQ.

Докажем, что точки PP и QQ симметричны относительно точки MM – середины стороны BCBC.

Пусть точка DD – это точка пересечения продолжения биссектрисы AA1AA1 с описанной окружностью.

По первому свойству DD – это центр окружности, описанной около четырехугольника BOCOaBOCOa.

Следовательно, точка DD лежит на серединном перпендикуляре к стороне BCBC, то есть точка DD проецируется в точку MM.

Кроме того, так как OaD=DOOaD=DO, то по теореме Фалеса PM=MQPM=MQ (так как радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны касательной BCBC и DMDM — серединный перпендикуляр к BCBC, то OaP∥DM∥OQOaP∥DM∥OQ).

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть вневписанная окружность ωaωa касается прямых AB,BCAB,BC и ACAC в точках N,MN,M и PP соответственно.

Докажем, что AB+BM=AC+MCAB+BM=AC+MC.

Действительно, так как касательные, проведенные к окружности из одной точки равны, то AN=AP,BN=BMAN=AP,BN=BM и CM=CPCM=CP.

Учитывая эти соотношения, получаем AB+BM=AB+BN=AN=AP=AC+CP=AC+CMAB+BM=AB+BN=AN=AP=AC+CP=AC+CM.

Таким образом AN=AB+BN=pAN=AB+BN=p.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть ωa(Oa,ra)ωa(Oa,ra) – вневписанная окружность этого треугольника, а a,b,ca,b,c – его стороны.

Докажем, что S=ra(p−a)S=ra(p−a).

Пусть N,M,PN,M,P – это точки касания окружности ωaωa и прямых AB,BCAB,BC и ACAC соответственно.

Соединим центр вневписанной окружности OaOa с вершинами треугольника.

По свойству 4∘4∘ S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c)S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c).

Кроме того S=rpS=rp.

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√S4rrarbrc=S2√rrarbrcS=p(p−a)(p−b)(p−c)=S4rrarbrc=S2rrarbrc, или S=√rrarbrcS=rrarbrc.

По свойству 4∘4∘ S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c)S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c).

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√S3prarbrcS=p(p−a)(p−b)(p−c)=S3prarbrc.

Возводя это равенство в квадрат и выражая SS, получим S=rarbrcpS=rarbrcp.

Напишем цепочку равенств, учитывая свойство 4∘4∘, 1ra+1rb+1rc=p−aS+p−bS+p−cS=3p−a−b−cS=3a+3b+3c−2a−2b−2c2S=a+b+c2S=pS=1r1ra+1rb+1rc=p−aS+p−bS+p−cS=3p−a−b−cS=3a+3b+3c−2a−2b−2c2S=a+b+c2S=pS=1r.

По свойству 4∘4∘, учитывая формулу Герона, rarb=S2(p−a)(p−b)=p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)=p(p−c)rarb=S2(p−a)(p−b)=p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)=p(p−c), rra=S2p(p−a)=p(p−a)(p−b)(p−c)p(p−a)=(p−b)(p−c)rra=S2p(p−a)=p(p−a)(p−b)(p−c)p(p−a)=(p−b)(p−c).

Исходный треугольник является ортотреугольником треугольника OaObOcOaObOc.

У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Достаточно доказать, что биссектриса AOaAOa угла AA является высотой треугольника OaObOcOaObOc, то есть нужно доказать, что ∠OaAOc=90∘∠OaAOc=90∘.

Отрезки AOaAOa и AObAOb являются биссектрисами смежных углов ∠BAC∠BAC и ∠CAM∠CAM, следовательно, ∠OaAOc=90∘∠OaAOc=90∘.

Аналогично BObBOb и COcCOc являются высотами треугольника OaObOcOaObOc.

Выразим все радиусы через площадь и стороны: r=Sp,R=abc4S,ra=Sp−a,rb=Sp−b,rc=Sp−cr=Sp,R=abc4S,ra=Sp−a,rb=Sp−b,rc=Sp−c.

Подставим формулы r=Sp,ra=Sp−a,ra=Sp−b,ra=Sp−cr=Sp,ra=Sp−a,ra=Sp−b,ra=Sp−c в левую часть равенства:

Из формулы Герона следует, что (p−a)(p−b)(p−c)=S2p(p−a)(p−b)(p−c)=S2p, поэтому

💥 Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

Вневписанная окружность треугольникаСкачать

Вневписанная окружность треугольника

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)Скачать

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)

Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать

Егэ c4. Вневписанная окружность

Лекция 59. Вневписанная окружность.Скачать

Лекция 59. Вневписанная окружность.

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКАСкачать

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКА

Свойства вневписанной окружности #огэ #егэ #геометрияСкачать

Свойства вневписанной окружности   #огэ #егэ #геометрия

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"
Поделиться или сохранить к себе: