У любого треугольника есть три вневписанных окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

МАТЕМАТИКА

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку до пересечения в точке с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром (рис.4), – это следует из того, что углы и прямые.

Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника . Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но , значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, и – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Пусть и – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен , а периметр большого треугольника равен

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников и ( и – центры вневписанных окружностей) находим . Но отрезок равен полупериметру большого треугольника, то есть .

Поэтому из полученной пропорции можно найти :

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Математика. Вневписанные окружности. Свойства. Теоремы + доказательство

Вневписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Таких окружностей, в отличие от вписанной, для любого треугольника существует ровно 3.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника.

Теорема. У любого треугольника есть три вневписанных окружности.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах BB и CC пересекаются в точке OaOa.

Тогда точка OaOa равноудалена от прямых AB,BCAB,BC и ACAC.

Следовательно, точка OaOa лежит на биссектрисе угла AA.

Обозначим расстояние от точки OaOa до стороны BCBC за rara.

Тогда окружность с центром в точке OaOa и радиусом rara касается стороны BCBC и продолжений сторон ABAB и ACAC, то есть является вневписанной окружностью данного треугольника.

Аналогично можно построить вневписанные окружности с центрами в точках ObOb и OcOc, касающиеся сторон ACAC и BABA соответственно.

Свойства вневписанной окружности

Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса AA1AA1 пересекается с окружностью, описанной около этого треугольника, в точке DD. Тогда точка DD является центром окружности, описанной около четырёхугольника BOCOaBOCOa, где OO – центр окружности, вписанной в треугольник ABCABC, а OaOa – центр вневписанной окружности.

Точка OO, как центр окружности, вписанной в треугольник ABCABC, лежит на биссектрисе угла BB, а точка OaOa, как центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла, смежного с углом BB.

Вспомним, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Следовательно ∠OBOa=90∘∠OBOa=90∘. Аналогично ∠OCOa=90∘∠OCOa=90∘.

Следовательно, около четырёхугольника BOCOaBOCOa можно описать окружность.

Пусть продолжение биссектрисы AA1AA1 и BB1BB1 пересекают окружность, описанную около треугольника ABCABC в точке DD и EE.

Так как ADAD и BEBE – биссектрисы, то ⌢BD=⌢DC,⌢AE=⌢ECBD⌢=DC⌢,AE⌢=EC⌢.

Обозначим эти пары углов соответственно αα и ββ.

Тогда ∠EBD=α+β2∠EBD=α+β2, так как он вписанный, а ∠BOD=α+β2∠BOD=α+β2.

Следовательно, в треугольнике BODBOD углы при основании BODBOD равны, то есть он равнобедренный BD=DOBD=DO.

Таким образом BD=DO=OCBD=DO=OC.

Таким образом точка DD равноудалена от всех вершин треугольник BOCBOC, и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Но эта окружность является также окружностью, описанной около четырёхугольника BOCOaBOCOa.

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть вневписанная окружность ωa(Oa,ra)ωa(Oa,ra) и вписанная окружность ω(O,r)ω(O,r) касаются стороны BCBC в точках PP и QQ.

Докажем, что точки PP и QQ симметричны относительно точки MM – середины стороны BCBC.

Пусть точка DD – это точка пересечения продолжения биссектрисы AA1AA1 с описанной окружностью.

По первому свойству DD – это центр окружности, описанной около четырехугольника BOCOaBOCOa.

Следовательно, точка DD лежит на серединном перпендикуляре к стороне BCBC, то есть точка DD проецируется в точку MM.

Кроме того, так как OaD=DOOaD=DO, то по теореме Фалеса PM=MQPM=MQ (так как радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны касательной BCBC и DMDM — серединный перпендикуляр к BCBC, то OaP∥DM∥OQOaP∥DM∥OQ).

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть вневписанная окружность ωaωa касается прямых AB,BCAB,BC и ACAC в точках N,MN,M и PP соответственно.

Докажем, что AB+BM=AC+MCAB+BM=AC+MC.

Действительно, так как касательные, проведенные к окружности из одной точки равны, то AN=AP,BN=BMAN=AP,BN=BM и CM=CPCM=CP.

Учитывая эти соотношения, получаем AB+BM=AB+BN=AN=AP=AC+CP=AC+CMAB+BM=AB+BN=AN=AP=AC+CP=AC+CM.

Таким образом AN=AB+BN=pAN=AB+BN=p.

Рассмотрим треугольник ABCABC.

Пусть ωa(Oa,ra)ωa(Oa,ra) – вневписанная окружность этого треугольника, а a,b,ca,b,c – его стороны.

Докажем, что S=ra(p−a)S=ra(p−a).

Пусть N,M,PN,M,P – это точки касания окружности ωaωa и прямых AB,BCAB,BC и ACAC соответственно.

Соединим центр вневписанной окружности OaOa с вершинами треугольника.

По свойству 4∘4∘ S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c)S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c).

Кроме того S=rpS=rp.

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√S4rrarbrc=S2√rrarbrcS=p(p−a)(p−b)(p−c)=S4rrarbrc=S2rrarbrc, или S=√rrarbrcS=rrarbrc.

По свойству 4∘4∘ S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c)S=ra(p−a),S=rb(p−b),S=rc(p−c).

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√S3prarbrcS=p(p−a)(p−b)(p−c)=S3prarbrc.

Возводя это равенство в квадрат и выражая SS, получим S=rarbrcpS=rarbrcp.

Напишем цепочку равенств, учитывая свойство 4∘4∘, 1ra+1rb+1rc=p−aS+p−bS+p−cS=3p−a−b−cS=3a+3b+3c−2a−2b−2c2S=a+b+c2S=pS=1r1ra+1rb+1rc=p−aS+p−bS+p−cS=3p−a−b−cS=3a+3b+3c−2a−2b−2c2S=a+b+c2S=pS=1r.

По свойству 4∘4∘, учитывая формулу Герона, rarb=S2(p−a)(p−b)=p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)=p(p−c)rarb=S2(p−a)(p−b)=p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)=p(p−c), rra=S2p(p−a)=p(p−a)(p−b)(p−c)p(p−a)=(p−b)(p−c)rra=S2p(p−a)=p(p−a)(p−b)(p−c)p(p−a)=(p−b)(p−c).

Исходный треугольник является ортотреугольником треугольника OaObOcOaObOc.

Достаточно доказать, что биссектриса AOaAOa угла AA является высотой треугольника OaObOcOaObOc, то есть нужно доказать, что ∠OaAOc=90∘∠OaAOc=90∘.

Отрезки AOaAOa и AObAOb являются биссектрисами смежных углов ∠BAC∠BAC и ∠CAM∠CAM, следовательно, ∠OaAOc=90∘∠OaAOc=90∘.

Аналогично BObBOb и COcCOc являются высотами треугольника OaObOcOaObOc.

Выразим все радиусы через площадь и стороны: r=Sp,R=abc4S,ra=Sp−a,rb=Sp−b,rc=Sp−cr=Sp,R=abc4S,ra=Sp−a,rb=Sp−b,rc=Sp−c.

Подставим формулы r=Sp,ra=Sp−a,ra=Sp−b,ra=Sp−cr=Sp,ra=Sp−a,ra=Sp−b,ra=Sp−c в левую часть равенства:

Из формулы Герона следует, что (p−a)(p−b)(p−c)=S2p(p−a)(p−b)(p−c)=S2p, поэтому