Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Видео:Точка пересечения срединных перпендикуляров сторон треугольника.Скачать

Точка пересечения срединных перпендикуляров  сторон треугольника.

Планиметрия. Страница 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

1.Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)

ОА — радиус
ВС — диаметр
DE — хорда

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.

Видео:Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

2.Окружность, описанная около треугольника

Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

3.Окружность, вписанная в треугольник

Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)

Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
Δ СОЕ = Δ СОК,
Δ ВОК = Δ ВОТ.
Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
Следовательно:
∠ ЕАО = ∠ ТАО,
∠ ЕСО = ∠ КСО,
∠ КВО = ∠ ТВО.

Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

Видео:Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Пример 1

Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)

По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1.

Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

Видео:Точка пересечения серединных перпендикуляров.Скачать

Точка пересечения серединных перпендикуляров.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровСерединный перпендикуляр к отрезку
Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровОкружность описанная около треугольника
Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Видео:Пифагория. Тема 17. Серединные перпендикулярыСкачать

Пифагория. Тема 17. Серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольникеСкачать

Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Видео:Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляровЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров
Площадь треугольникаЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров
Радиус описанной окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать

Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольника

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центром окружности вписанной треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

📹 Видео

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

КАК ПРОВЕСТИ СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #перпендикулярСкачать

КАК ПРОВЕСТИ СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #перпендикуляр

Вторая замечательная точка треугольникаСкачать

Вторая замечательная точка треугольника

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: