Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Треугольник: вписанная и описанная окружности
Содержание
  1. Окружность, вписанная в треугольник
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Тест по геометрии для 8 класса
  4. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  5. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  6. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  7. Дистанционные курсы для педагогов
  8. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  9. Другие материалы
  10. Вам будут интересны эти курсы:
  11. Оставьте свой комментарий
  12. Автор материала
  13. Дистанционные курсы для педагогов
  14. Подарочные сертификаты
  15. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  16. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  17. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  18. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  19. 📹 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника окружностью.

  • Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
  • Радиус описанной окружности можно найти из теоремы синусов : a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R frac=frac=frac=2R sin α a ​ = sin β b ​ = sin γ c ​ = 2 R .

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Тест по геометрии для 8 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

по геометрии для 8 класса

1.Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его …

в) серединных перпендикуляров.

2. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от …

в) вершин треугольника.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан. Этот треугольник…

4. Окружность называется вписанной в многоугольник, если…

а) все его стороны касаются окружности;

б) все его вершины лежат на окружности;

в) все его стороны имеют общие точки с окружностью.

по геометрии для 8 класса

1. Радиус вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра окружности до …

а) сторон треугольника;

б) вершин треугольника;

в) углов треугольника.

2. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности может лежать…

а) на любой из его высот;

б) на любой из его медиан;

в) на любом из его серединных перпендикуляров.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Этот треугольник может быть…

б) только равносторонним;

в) только прямоугольным.

4. Многоугольник называется описанным около окружности, если …

а) окружность имеет общие точки с его сторонами;

б) окружность проходит через его вершины;

в) окружность является касающейся всех его сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 987 человек из 79 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 310 человек из 69 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 677 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 533 955 материалов в базе

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 17.03.2017
  • 1464
  • 21
  • 17.03.2017
  • 1185
  • 0
  • 17.03.2017
  • 5046
  • 16
  • 17.03.2017
  • 795
  • 2
  • 17.03.2017
  • 380
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

  • 17.03.2017
  • 266
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

  • 17.03.2017
  • 302
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 17.03.2017 6642
  • DOCX 13.1 кбайт
  • 11 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еленкина Алена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

  • На сайте: 5 лет
  • Подписчики: 10
  • Всего просмотров: 47435
  • Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Студенты на Северном Кавказе бесплатно подготовят к ЕГЭ сельских школьников

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Рязанских школьников с 5 по 8 классы переведут на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Новые курсы: школьные службы примирения, детская журналистика и другие

Время чтения: 15 минут

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение егоСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение егоФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение егоВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Равносторонний треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его
Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с пересечение его

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

📹 Видео

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |
Поделиться или сохранить к себе: