В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
- Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Доказательства свойств
- Первое свойство
- Доказательство:
- Второе свойство
- Доказательство:
- Третье свойство
- Доказательство:
- Свойства прямоугольного треугольника
- Прямоугольные треугольники
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- 📸 Видео
Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
DE || AB и DE = AB / 2.
FG || AB и FG = AB / 2
FX=XE, GX=XD
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||
Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
Прямоугольный треугольник | ||||||||||||||||||||
Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||||||||||||||||||||
Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° . | ||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник с углом в 30° | ||||||||||||||||||||
Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° : Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° : Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° . | ||||||||||||||||||||
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника | ||||||||||||||||||||
Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. | ||||||||||||||||||||
Центр описанной окружности | ||||||||||||||||||||
Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. | ||||||||||||||||||||
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать Прямоугольные треугольникиПрямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов). Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов. 2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный. 3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет. 1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. 4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$: 5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. 6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны. 7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения. Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$. Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$: Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора: Подставим найденное значение в формулу косинуса В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sinA=/, AC=9$. Найдите $АВ$. Распишем синус угла $А$ по определению: Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно. Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$ Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$ В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу. В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. 📸 Видео7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать Медиана в прямоугольном треугольнике на ЕГЭ и ОГЭ по профильной математикеСкачать 7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать ЕГЭ Математика. Угол между медианой и биссектрисой в прямоугольном треугольникеСкачать Угол между медианой и высотойСкачать Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольникаСкачать Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать ЕГЭ Математика Задание 6#27773Скачать Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Угол между биссектрисой, медианой и высотой / решу егэСкачать Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать 8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать |