Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

  1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
  2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

  • Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
    DE || AB и DE = AB / 2.
  • Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
    FG || AB и FG = AB / 2
  • Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
  • Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
    FX=XE, GX=XD

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

  • Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
  • Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
  • Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
  • Что и требовалось доказать.

    Второе свойство

    Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Доказательство:

    1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

  • Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
  • Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

  • Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

    Доказательство:

    1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

  • Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
  • Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
  • Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    Свойства прямоугольного треугольника

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

    Катеты прямоугольного треугольника

    Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.
    Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

    Катет, равный половине гипотенузы

    Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

    Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

    Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена

    Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

    Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

    Обратная теорема Пифагора

    Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

    ФигураРисунокФормулировка
    Прямоугольный треугольник
    Равнобедренный прямоугольный треугольник
    Прямоугольный треугольник с углом в 30°

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Определение прямоугольного треугольника:

    Треугольник, у которого один из углов равен 90° , называют прямоугольным треугольником .

    Сторону, лежащую против угла в 90° , называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

    Свойство катетов прямоугольного треугольника:

    Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник
    Равнобедренный прямоугольный треугольник
    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Определение равнобедренного прямоугольного треугольника:

    Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

    Свойство углов прямоугольного треугольника:

    Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° .

    Прямоугольный треугольник с углом в 30°
    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° :

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

    Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° :

    Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

    Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника
    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника:

    Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

    Признак прямоугольного треугольника:

    Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

    Центр описанной окружности
    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

    Признак прямоугольного треугольника:

    Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

    Медиана в прямоугольном треугольнике градусы

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

    Обратная теорема Пифагора:

    Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

    Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

    Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

    1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

    2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

    3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

    4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

    5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

    6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

    7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

    В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

    Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

    В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

    Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

    Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

    1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

    В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

    5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

    6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

    7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

    Значения тригонометрических функций некоторых углов:

    $α$$30$$45$$60$
    $sinα$$/$$/$$/$
    $cosα$$/$$/$$/$
    $tgα$$/$$1$$√3$
    $ctgα$$√3$$1$$/$

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

    В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

    Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

    Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

    Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

    Подставим найденное значение в формулу косинуса

    В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

    Распишем синус угла $А$ по определению:

    Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

    Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

    Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

    В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

    Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

    В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

    Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

    📸 Видео

    7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

    7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать

    Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭ

    Медиана в прямоугольном треугольнике на ЕГЭ и ОГЭ по профильной математикеСкачать

    Медиана в прямоугольном треугольнике на ЕГЭ и ОГЭ по профильной математике

    7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

    7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

    ЕГЭ Математика. Угол между медианой и биссектрисой в прямоугольном треугольникеСкачать

    ЕГЭ Математика. Угол между медианой и биссектрисой в прямоугольном треугольнике

    Угол между медианой и высотойСкачать

    Угол между медианой и высотой

    Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольникаСкачать

    Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольника

    Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

    Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

    ЕГЭ Математика Задание 6#27773Скачать

    ЕГЭ Математика Задание 6#27773

    Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Угол между биссектрисой, медианой и высотой / решу егэСкачать

    ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Угол между биссектрисой, медианой и высотой / решу егэ

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shorts

    8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

    8. Медиана треугольника и её свойства.

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: