Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центраСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центраФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центраВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Тест по геометрии для 8 класса
  5. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  6. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  7. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  8. Дистанционные курсы для педагогов
  9. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  10. Другие материалы
  11. Вам будут интересны эти курсы:
  12. Оставьте свой комментарий
  13. Автор материала
  14. Дистанционные курсы для педагогов
  15. Подарочные сертификаты
  16. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  17. 🌟 Видео

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Равносторонний треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра
Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Видео:Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентраСкачать

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентра

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Тест по геометрии для 8 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

по геометрии для 8 класса

1.Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его …

в) серединных перпендикуляров.

2. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от …

в) вершин треугольника.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан. Этот треугольник…

4. Окружность называется вписанной в многоугольник, если…

а) все его стороны касаются окружности;

б) все его вершины лежат на окружности;

в) все его стороны имеют общие точки с окружностью.

по геометрии для 8 класса

1. Радиус вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра окружности до …

а) сторон треугольника;

б) вершин треугольника;

в) углов треугольника.

2. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности может лежать…

а) на любой из его высот;

б) на любой из его медиан;

в) на любом из его серединных перпендикуляров.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Этот треугольник может быть…

б) только равносторонним;

в) только прямоугольным.

4. Многоугольник называется описанным около окружности, если …

а) окружность имеет общие точки с его сторонами;

б) окружность проходит через его вершины;

в) окружность является касающейся всех его сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 986 человек из 79 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 678 человек из 75 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 312 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 532 445 материалов в базе

Другие материалы

  • 17.03.2017
  • 1460
  • 20
  • 17.03.2017
  • 1185
  • 0
  • 17.03.2017
  • 5046
  • 16
  • 17.03.2017
  • 793
  • 2
  • 17.03.2017
  • 380
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

  • 17.03.2017
  • 266
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

  • 17.03.2017
  • 301
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 17.03.2017 6634
  • DOCX 13.1 кбайт
  • 11 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еленкина Алена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

  • На сайте: 5 лет
  • Подписчики: 10
  • Всего просмотров: 47413
  • Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Минобрнауки учредит стипендию для студентов — победителей международных олимпиад

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

В Петербурге открыли памятник работавшим во время блокады учителям

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Школьники Ленобласти уйдут на внеплановые каникулы

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

В Курганской области школьников переведут на дистанционное обучение с 4 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Центр вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

🌟 Видео

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: