Площадь треугольника через биссектрису

Биссектриса делит площадь

Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.

Площадь треугольника через биссектрисуДано : ∆ABC,

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Так как BP — биссектриса треугольника ABC, то ∠ABP=∠CBP, отсуда sin∠ABP=sin∠CBP.

Площадь треугольника через биссектрису

Что и требовалось доказать .

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части 5 и 6. Меньшая из двух других сторон равна 15. Найти площади частей, на которые биссектриса делит исходный треугольник.

Площадь треугольника через биссектрисуДано : ∆ABC,

BP — биссектриса, AP=5, CP=6, AB=15

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

откуда BC=18. AC=AP+CP=11.

Площадь треугольника ABC найдём по формуле Герона.

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Так как биссектриса делит площадь треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам,

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Площадь треугольника через биссектрису

Ответ: 10√14 и 12√14.

Содержание
  1. 3 Comments
  2. Как найти площадь треугольника
  3. Основные понятия
  4. Формула площади треугольника
  5. Общая формула
  6. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  7. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  8. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  9. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  10. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  11. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  12. Для прямоугольного треугольника
  13. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  14. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  15. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  16. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  17. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  18. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  19. Для равнобедренного треугольника
  20. Вычисление площади через основание и высоту
  21. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  22. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  23. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  24. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  25. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  26. Таблица формул нахождения площади треугольника
  27. Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
  28. Если треугольник прямоугольный
  29. Если он равнобедренный
  30. Если он равносторонний
  31. Если известна сторона и высота
  32. Если известны две стороны и градус угла между ними
  33. Если известны длины трех сторон
  34. Если известны три стороны и радиус описанной окружности
  35. Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
  36. 🔍 Видео

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

3 Comments

Биссектриса угла треугольника делит его сторону наотрезки, разность которых 3см, две другие стороны 14см и 21см. Вычислить площадь треугольника.

Пусть один из отрезков равен x см, тогда другой — (x+3) см. По свойству биссектрисы треугольника 14:21=x:(x+3). Отсюда x=6, x+3=9, то есть длина третьей стороны треугольника 6+9=15 см. Зная все три стороны треугольника, площадь можем найти по формуле Герона.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Как найти площадь треугольника

Площадь треугольника через биссектрису

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Биссектриса и площадь треугольника.Скачать

Биссектриса и площадь треугольника.

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Биссектриса прямого угла делит медиану пополам! Найти площадь треугольника.Скачать

Биссектриса прямого угла делит медиану пополам! Найти площадь треугольника.

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Площадь треугольника через биссектрису

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать

Как найти биссектрису в треугольнике?  2 формулы биссектрисы

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Площадь треугольника через биссектрису

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Площадь треугольника через биссектрису

Видео:Задание 26 Отношение площадей Свойство биссектрисыСкачать

Задание 26 Отношение площадей  Свойство биссектрисы

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Площадь треугольника через биссектрису

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Площадь треугольника через биссектрису

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:ВЫСОТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ДЕЛИТ БИССЕКТРИСУ НА ОТРЕЗКИ 9 И 6! Найти площадь.Скачать

ВЫСОТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ДЕЛИТ БИССЕКТРИСУ НА ОТРЕЗКИ 9 И 6! Найти площадь.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Площадь треугольника через биссектрису

Видео:Найдите биссектрису угла треугольника на рисунке ★ Два способаСкачать

Найдите биссектрису угла треугольника на рисунке ★ Два способа

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Площадь треугольника через биссектрису

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадь

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Площадь треугольника через биссектрису

Видео:Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️‍🔥#математика #егэСкачать

Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️‍🔥#математика #егэ

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Площадь треугольника через биссектрису

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

🔍 Видео

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Планиметрия 25 | mathus.ru | площадь треугольника | пересечение биссектрисСкачать

Планиметрия 25 | mathus.ru | площадь треугольника | пересечение биссектрис

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делитСкачать

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит
Поделиться или сохранить к себе: