Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

В трапецию вписана окружность

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

AL=AK

BL=BM

CM=CF

DF=DK

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Рассмотрим базовую задачу.

Найти радиус вписанной в трапецию окружности, если точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;

4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Видео:Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Окружность и трапеция  | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

3. Треугольники Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектриси Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Отношение площадей этих треугольников есть Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

4. Треугольники Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектриси Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Видео:✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис Трушин

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектриси она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектриси Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис, то Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Площадь

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрисили Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрисгде Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис– средняя линия

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

и точка O лежит на средней линии трапеции.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис5.

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис

Центр вписанной в трапецию окружности точка пересечения его биссектрис6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

🌟 Видео

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Задание 25 Описанная трапецияСкачать

Задание 25  Описанная трапеция

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИ

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Геометрия Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапецииСкачать

Геометрия Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Биссектрисы трапеции | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Биссектрисы трапеции | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Бицентрический четырёхугольник. Вписанно-описанная трапецияСкачать

Бицентрический четырёхугольник.  Вписанно-описанная трапеция
Поделиться или сохранить к себе: