Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

и точка O лежит на средней линии трапеции.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей5.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Видео:Планиметрия 19 | mathus.ru| расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапецииСкачать

Планиметрия 19 | mathus.ru| расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

3. Треугольники Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейи Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Отношение площадей этих треугольников есть Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

4. Треугольники Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейи Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейи Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей, то Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Площадь

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейили Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналейгде Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей– средняя линия

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении диагоналей

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

🎬 Видео

4.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

4.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов ее боковой стороныСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов ее боковой стороны

Деклассируем трапецию. Перечневые олимпиады 2021Скачать

Деклассируем трапецию. Перечневые олимпиады 2021

Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Окружность и трапеция  | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИ

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружностьСкачать

Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружность

Трапеция и её свойства - 2Скачать

Трапеция и её свойства - 2
Поделиться или сохранить к себе: