Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  2. Через сторону квадрата
  3. Через диагональ квадрата
  4. Примеры задач
  5. Найти радиус вписанной окружности квадрата c известной диагональю онлайн с формулами расчётов
  6. Введите данные:
  7. Округление:
  8. Как находить радиус окружности вписанной в квадрат
  9. Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности
  10. Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  11. Через сторону квадрата
  12. Через диагональ квадрата
  13. Примеры задач
  14. Квадрат. Онлайн калькулятор
  15. Свойства квадрата
  16. Диагональ квадрата
  17. Окружность, вписанная в квадрат
  18. Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
  19. Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
  20. Окружность, описанная около квадрата
  21. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
  22. Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
  23. Периметр квадрата
  24. Признаки квадрата
  25. Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат
  26. Окружность вписанная в квадрат
  27. Окружность описанная около квадрата
  28. Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Видео:16 задание ОГЭ 2023 Окружность Квадрат#ShortsСкачать

16 задание  ОГЭ 2023 Окружность  Квадрат#Shorts

Найти радиус вписанной окружности квадрата c известной диагональю онлайн с формулами расчётов

Введите в поле «диагональ» Ваше измерение и нажмите «Рассчитать»

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Округление:

Диагональ, диаметр описанной окружности (M) = 10

Радиус вписанной окружности (R1) = (frac) = (frac) = 3.54

Радиус описанной окружности (R2) = (frac) = (frac) = 5

Периметр (P) = (L*4) = (7.07*4) = 28.28

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Как находить радиус окружности вписанной в квадрат

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадратаСкачать

18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадрата

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Задание 26 Вписанный квадратСкачать

Задание 26 Вписанный квадрат

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата, получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратав (8), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(9)

где Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратав (9), получим:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Ответ: Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаКак найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(13)

Из (13) следует, что

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэ

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаУ квадрата:

  • все углы прямые, то есть, равны 90°;
  • все стороны, как и углы, равны;
  • диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Окружность описанная около квадрата

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадратаВокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

  • угол CDA=90°;
  • стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
  • угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата, отсюда Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата
Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

  • треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
  • ОЕ=ЕС=Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата;
  • ОЕС=90°;
  • ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.
Как найти радиус вписанной окружности по диагонали квадрата

Поделиться или сохранить к себе: