Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Свойства биссектрис треугольника

Свойство 1
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в треугольник окружности.

Свойство 2
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Если CD — биссектриса угла C ? ABC, то

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Свойство 3
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении a + b c , считая от вершины:

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Свойство 4
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Биссектриса угла C вычисляется по формулам:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношенииСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношенииФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношенииВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Равносторонний треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении
Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Геометрия В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношенииСкачать

Геометрия В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении

Биссектриса треугольника делится в отношении

Выясним, в каком отношении точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую биссектрису.

Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношенииДано:

AK, BF, CM — биссектрисы ΔABC,

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Из треугольника CBF по свойству биссектрисы треугольника

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Разделив обе части равенства на AC, получим

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

Два другие соотношения доказываются аналогично.

Что и требовалось доказать.

Так как согласно неравенству треугольника длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, то каждое из этих отношений больше единицы.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении17:10, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 22.

AK, BF, CM — биссектрисы ΔABC,

AK∩BF=O, BO:OF=17:10, AC=22

Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении

(на экзамене в открытой части необходимо привести доказательство).

🎦 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

100 тренировочных задач #74Скачать

100 тренировочных задач #74

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием КисиевымСкачать

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием Кисиевым
Поделиться или сохранить к себе: