Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника?

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Ваш ответ

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

решение вопроса

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,929
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Центр вписанной окружности лежит вне треугольника
    • Четырехугольник
      Центр вписанной окружности лежит вне треугольника
    • Многоугольник
      Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

    Окружность, описанная около треугольника.
    Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
    Центр вписанной окружности лежит вне треугольникаОкружность описанная около треугольника
    Центр вписанной окружности лежит вне треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
    Центр вписанной окружности лежит вне треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Серединный перпендикуляр к отрезку

    Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

    Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

    Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

    Видео:88 Центр описанной окружности треугольникаСкачать

    88 Центр описанной окружности треугольника

    Окружность, описанная около треугольника

    Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

    ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

    Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    ФигураРисунокСвойство
    Серединные перпендикуляры
    к сторонам треугольника
    Центр вписанной окружности лежит вне треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Посмотреть доказательство
    Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности лежит вне треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
    Теорема синусовЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника
    Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника
    Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника
    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

    Теорема синусовЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

    Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

    Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника.

    Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

    l = 2Rsin φ .(1)

    Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Центр вписанной окружности лежит вне треугольника

    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

    Формула (1) доказана.

    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

    🔥 Видео

    ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬСкачать

    ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ

    35 Где лежит центр вписанной в треугольник окружностиСкачать

    35 Где лежит центр вписанной в треугольник окружности

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

    2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

    Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

    Центр вписанной окружности #Shorts

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

    Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

    Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

    Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!Скачать

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!

    ✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
    Поделиться или сохранить к себе: