Центр рассеивания случайного вектора

Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.

Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число n_r,s, определяемое формулой:

n_r,s = M[X r Y s ] =

Начальный момент n_r,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится.

Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число m_r,s определяемое формулой

m_r,s = M[(X-m_X) r (Y-m_Y) s ] =

Центральный момент m_r,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (D_X, D_Y) = (m_2,0, m_0,2) называется дисперсией случайного вектора.

Центральный момент m_1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): K_XY = M[] = M[(X-m_X)?(Y-m_Y)] = M[XY]-m_X m_Y.

Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация

3. |K_XY| £ , (|r_XY | £ 1).

Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие |r_XY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = a?Y + b, где a и b — константы. СВ, для которых K_XY = 0 (r_XY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений y_j, называется действительное число определяемое формулой:

m_X/Y = M[X/Y = y_j] =

где Р<X = x_i /Y = y_j> = , p_ij = Р<X = x_i ,Y = y_j>.

Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений y_j, называется действительное число определяемое формулой:

D_X/Y = D[X/Y = y_j] =

Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х₁, Х₂, . Х_n). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m₁, m₂, . m_n), где m_i — математическое ожидание СВ Х_i, определяемое формулой

m_i = M[X_i] =, называется центром, рассеивания случайного вектора.

Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора = (Х₁, Х₂, . Х_n) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:

где К_ij = M[] — ковариация i-й и j-й компонент.

Очевидно, что К_ii = М[X_i 2 ] -дисперсия i-й компоненты.

K = ,

Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:

r_ij = — коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты.

C = ,

Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:

Y X	1	2	3
1	1/9	1/9	1/9
2	0	1/6	1/6
3	0	0	1/3

1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют

совместное равномерное распределение внутри области G = .

Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).

Найти центр рассеивания (m_X, m_Y)и вычислить дисперсию (D_X, D_Y) совместного распределения координат.

Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Системы случайных величин

Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:

• ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
• ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции r_x,y, условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M[X/Y=y_i];

Кроме этого, дается ответ на вопрос, «зависимы ли случайные величины X и Y ?».

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:

Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.

Решение. Величину q найдем из условия Σp_ij = 1
Σp_ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

Математическое ожидание M[X] = 10*0.26 + 20*0.24 + 30*0.22 + 40*0.28 = 25.2
Дисперсия D[X] = 10 2 *0.26 + 20 2 *0.24 + 30 2 *0.22 + 40 2 *0.28 — 25.2 2 = 132.96
Среднее квадратическое отклонение σ(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(132.96) = 11.531

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 — 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Ковариация cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 — 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции r_xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:

1. написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
2. написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
3. изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
4. рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
5. написать выборочное уравнение прямой регрессии;
6. изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij, i=1,2. n, j=1,2. m

События (X=x_i, Y=y_j) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей p_ij(i=1,2. n, j=1,2. m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

Математическое ожидание M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3 )/100 = 25.3
Дисперсия D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3 )/100 — 25.3 2 = 24.01
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14 )/100 = 42.3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14 )/100 — 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=20).
M[X/Y=y] = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D[X/Y=20).
D[X/Y=y] = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=30).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D[X/Y=30).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=40).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D[X/Y=40).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 — 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=50).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D[X/Y=50).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 — 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=60).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D[X/Y=60).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 — 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=11).
M[Y/X=x] = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D[Y/X=11).
D[Y/X=x] = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=16).
M[Y/X=x] = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D[Y/X=16).
D[Y/X=x] = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=21).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D[Y/X=21).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 — 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M[Y/X=26).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D[Y/X=26).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 — 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M[Y/X=31).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D[Y/X=31).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 — 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M[Y/X=36).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D[Y/X=36).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 — 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.


Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 _x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 — 42.3 2 = 99.71
σ 2 _y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 — 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ_x = 9.99 и σ_y = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:


Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y_x = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
x_y = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Задание. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Числовые характеристики векторных случайных величин

Основными числовыми характеристиками двумерного случайного вектора являются математические ожидания т_х, т_у и дисперсии D_x, D_y (стандартные отклонения а_х, о_у) его компонент. При этом точка с координатами (т_х, т_у) на плоскости хОу определяет центр рассеивания случайной точки (X, Y>, а дисперсии D_x, D_y характеризуют степень ее рассеивания в направлении осей Ох и 0у. Однако они не отражают взаимного влияния случайных величин при их совместном рассмотрении, что вызывает необходимость введения дополнительных числовых характеристик.

Моменты распределения случайного вектора

Числовые характеристики случайного вектора вводятся через понятия начальных и центральных моментов.

Начальным моментом (к + s)-zo порядка системы называется математическое ожидание произведения к-й степени случайной величины X на s-ю степень случайной величины Y

В развернутом виде выражение для начального момента (к + s)-ro порядка случайного вектора записывается:

для дискретного случайного вектора

для непрерывного случайного вектора

На практике наиболее употребительными начальными моментами являются моменты первого порядка

Таким образом, начальные моменты первого порядка являются математическими ожиданиями входящих в систему случайных величин.

Центральным моментом (к + s)-zo порядка случайного вектора называется математическое ожидание произведения k-й и s-u степеней соответствующих центрированных случайных величин

В развернутом виде формулы для центральных моментов (к + s)-ro порядка запишутся в виде:

для системы дискретных случайных величин

для системы непрерывных случайных величин

На практике наибольшее применение имеют центральные моменты второго порядка

Таким образом, рассмотренные центральные моменты второго порядка являются дисперсиями случайных величин, входящих в систему, и характеризуют индивидуальные рассеивания этих величин относительно центра распределения.

Кроме того к числу основных числовых характеристик двумерного случайного вектора относится еще один смешанный центральный момент второго порядка, называемый моментом связи К_ху (его называют также корреляционным моментом или ковариацией), который определяется следующим образом

и может быть либо положительным, либо отрицательным.

Вычисляется момент связи с использованием выражения если случайные величины ХиУ дискретны, или выражения если они непрерывны.

Момент связи является характеристикой частного случая стохастической зависимости — так называемой корреляционной зависимости или корреляции. Она проявляется в том, что при изменении одной случайной величины математическое ожидание другой изменяется по линейному закону в ту же сторону (если К_{х у} > 0) или в противоположную (если К_{г у} 0 тоже возрастает (линейно) -— имеет место положительная корреляция, а при К_ху — . В результате этого при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин X или У другая будет увеличиваться (уменьшаться) лишь в среднем.

Чем в большей степени рассеивается общая составляющая Z по сравнению с составляющими U и V, тем теснее корреляционная связь между случайными величинами X и У, и наоборот, при отсутствии рассеивания Z эти случайные величины становятся чисто независимыми.

Если компоненты X и Y случайного вектора независимы, то они оказываются и некоррелированными. Обратное утверждение не всегда верно, поскольку некоррелированные случайные величины могут быть зависимыми. Это обусловлено тем, что распределение случайной величины является более полной ее вероятностной характеристикой, чем математическое ожидание. Такая особенность присуща, например, компонентам X и Y случайного вектора, рассмотренного в примерах 2.4 и 2.5. Как было показано, они стохастически независимы, но математические ожидания, соответствующие любому условному распределению каждой из них (см. рис. 2.37), равны нулю, т. е. не зависят от того, какие значения принимает другая, так что корреляция между X и Y отсутствует. И момент связи К_{х у} в условиях этих примеров оказывается равным нулю.

Наряду с моментом связи в качестве характеристики степени корреляции между случайными величинами используется коэффициент корреляции г_ху, который определяется соотношением

Эта характеристика обладает большей наглядностью относительно степени корреляции, чем момент связи, поскольку |г | ^ 1. Если случайные величины X и Y некоррелированы, то г_ху = 0, а если они связаны линейной функциональной зависимостью, то г 1 = 1 (знак г одинаков со знаком К ).

Следует отметить, что некоррелированными могут быть случайные величины, связанные друг с другом даже фун кцио- нальной, но нелинейной зависимостью.

Числовые характеристики многомерного случайного вектора задают совокупность математических ожиданий и матрицей элементами которой являются моменты связи всех возможных пар х.х. его компонент. При этом, поскольку из определения момента связи (2.106) следует, что

📹 Видео

Непрерыный случайный вектор и его характеристикиСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Нахождение функции случайного вектораСкачать

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Нахождение функции распределения для двумерного случайного вектора по плотностиСкачать

Распределение в Статистике за 5 МинутСкачать

Двумерное дискретное распределениеСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

2.2. Функция распределения и ее характеристики.Скачать

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

Ряд распределенияСкачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

01-02 Случайная величина и её распределениеСкачать

Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моментыСкачать