Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Содержание
  1. Все, что нужно знать о треугольнике
  2. ТРЕУГОЛЬНИК.
  3. Площадь треугольника.
  4. Медиана треугольника
  5. Биссектриса треугольника
  6. Высота треугольника
  7. Теорема синусов:
  8. Прямоугольный треугольник
  9. Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:
  10. Равнобедренный треугольник.
  11. Правильный треугольник
  12. Средняя линия треугольника
  13. Внешний угол треугольника
  14. Признаки равенства треугольников:
  15. Признаки подобия треугольников:
  16. Теорема Менелая
  17. math4school.ru
  18. Треугольники
  19. Основные свойства
  20. Равенство треугольников
  21. Подобие треугольников
  22. Медианы треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Высоты треугольника
  25. Серединные перпендикуляры
  26. Окружность, вписанная в треугольник
  27. Окружность, описанная около треугольника
  28. Расположение центра описанной окружности
  29. Равнобедренный треугольник
  30. Равносторонний треугольник
  31. Прямоугольный треугольник
  32. Вневписанные окружности
  33. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  34. 📸 Видео

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Все, что нужно знать о треугольнике

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиПри решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— произвольная сторона треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— высота, опущенная на эту сторону.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

2. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностии Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— произвольные стороны треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— угол между этими сторонами:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

3. Формула Герона:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

— здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длины сторон треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— полупериметр треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

4. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— полупериметр треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— радиус вписанной окружности.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Пусть Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длины отрезков касательных.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

6. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длины сторон треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— радиус описанной окружности.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиРадиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— медиана, проведенная к стороне Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

— здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длины сторон треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— площадь треугольника.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

где Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длина стороны треугольника, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиc» title=»a+b>c»/> Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, то Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностии наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Прямоугольный треугольник

это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

здесь Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— радиус вписанной окружности, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— катеты, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— гипотенуза:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Катет, лежащий против угла Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиравен половине гипотенузы:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— угол при вершине.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностии Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— боковые стороны, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностии Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— углы при основании. Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Площадь правильного треугольника равна

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности,

где Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности— длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Тригонометрические функции внешнего угла:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, причем Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности– точка ее пересечения со стороной Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности– точка ее пересечения со стороной Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности, и Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности– точка ее пересечения с продолжением стороны Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности. Тогда

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

math4school.ru

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Треугольники

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Основные свойства

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Равенство треугольников

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

координаты центра тяжести треугольника

Подобие треугольников

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Что даёт точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Что даёт точка пересечения медиан в треугольнике

Медианы треугольника

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Почему точка пересечения медиан называется центром масс?Скачать

Почему точка пересечения медиан называется центром масс?

Биссектрисы треугольника

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Длина биссектрисы угла А :

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Высоты треугольника

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Серединные перпендикуляры

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Окружность, описанная около треугольника

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Расположение центра описанной окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружностиЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Равнобедренный треугольник

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Центр кругаСкачать

Центр круга

Равносторонний треугольник

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Прямоугольный треугольник

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

через катет и острый угол: Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

через гипотенузу и острый угол: Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Радиус вписанной окружности:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Вневписанные окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

для R – Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

для S – Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

для самих ra , rb , rсЦентр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Видео:Точка пересечения медиан треугольника.Скачать

Точка пересечения медиан треугольника.

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Центр пересечения медиан в треугольнике это центр окружности

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

📸 Видео

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB
Поделиться или сохранить к себе: