Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
Свойства:
- Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
- Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
- Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
- Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
- Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
- При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
- Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
Центр описанной окружности
Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?
Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.
Соединим отрезками точки O и A, O и C.
OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).
По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):
Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.
Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.
Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.
Что и требовалось доказать.
Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.
Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.
2 Comments
на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.
OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если 
, и 
, если 
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- ,где R – радиус описанной окружности .
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .
Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.
5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .
— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).