Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
Свойства:
- Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
- Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
- Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
- Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
- Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
- При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
- Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если 
, и 
, если 
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- ,где R – радиус описанной окружности .
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .
Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.
5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .
— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать
Please wait.
Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
We are checking your browser. mathvox.ru
Видео:ОГЭ 2021 Задание 24Скачать
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d5da60e88c915fe • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare
🔍 Видео
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Центр описанной окружности.Скачать
Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать
СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать
9 - 10 класс. Свойства ортоцентраСкачать
✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать
Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
76. Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Геометрия В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписаннойСкачать
Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать
ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать
Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать
Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать
Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать
