Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеОкружность описанная около треугольника
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Видео:Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 Найдите

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне
Площадь треугольникаЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне
Радиус описанной окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится внеСоединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Окружность и треугольник

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность и треугольник

*Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

*Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

*Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

*Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.

*Для прямоугольного треугольника центр окружности находится на середине гипотенузы.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

*Для тупоугольного треугольника центр окружности находится вне треугольника.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

*Окружность называют вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности.

*Её центр равноудалён от всех сторон, то есть должен находиться в точке пересечения биссектрис треугольника.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность, так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри треугольника, то для всех треугольников центр вписанной окружности находится в треугольниках.

равностороннего треугольника совпадают биссектрисы, медианы и высоты, то есть, эти отрезки являются также серединными перпендикулярами.

*Это значит, что центры описанной и вписанной окружности совпадают.

Центр окружности вписанной в тупоугольный треугольник находится вне

*Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника.
R=2/3 h, R=(a√3)/3.

*Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.
r=1/3 h, r=(a√3)/3.

💥 Видео

Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на aСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на a

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

88 Центр описанной окружности треугольникаСкачать

88 Центр описанной окружности треугольника

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник
Поделиться или сохранить к себе: