Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольникаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольникаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольникаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Равнобедренный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Равносторонний треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Прямоугольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника.

Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника– полупериметр (рис. 6).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

с помощью формулы Герона получаем:

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Вписанная окружность

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
    • Четырехугольник
      Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника
    • Многоугольник
      Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от треугольника

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    🔥 Видео

    Окружность, вписанная в треугольникСкачать

    Окружность, вписанная в треугольник

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Почему геометрия — это красиво?Скачать

    Почему геометрия —  это красиво?

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

    Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    №199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этогоСкачать

    №199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого

    Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

    ✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

    Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

    Построить окружность, вписанную в треугольник

    Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать

    Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольника

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Окружность и треугольникСкачать

    Окружность и треугольник

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности
    Поделиться или сохранить к себе: