Как найти пары равных треугольников

О чем эта статья:

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Видео:Признаки равенства треугольников. Доказать равенство по рисунку. Найти пары.Скачать

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Алгоритм решения задач на доказательство равенства треугольников

Проблемы преподавания геометрии в 7 классе общеизвестны. Учителю необходимо добиться, что бы ученики осознали необходимость доказательства различного рода положений; выработать у них навык решения таких задач.

Единство теории и практики — один из основных принципов преподавания геометрии. Решению задач отводится большая роль. Задачи по геометрии следует решать не от случая к случаю, а повседневно, на каждом уроке, в тесной связи с изучаемой теорией. На уроках геометрии надо чаще решать задачи на доказательство и построение. Очень важно научить ученика понимать чертеж, выделять на чертеже необходимые детали. Часто ученик не понимает содержание теоремы или решение задачи из-за того, что не видит отчетливо на чертеже те фигуры, о которых идет речь и рассмотрение которых дает решение вопроса.

Я предлагаю для обучения учащихся решению задач на доказательство равенства треугольников воспользоваться следующим алгоритмом, который содержит некоторые подсказки, помогает отыскать на чертеже необходимые для доказательства фигуры.

Алгоритм решения задач на доказательство равенства треугольников

1. РАССУЖДАЕМ

Чтобы доказать, что два треугольника равны, необходимо найти три пары соответственно равных элементов:

• две стороны и угол между ними (1 признак)
• сторону и два прилежащих к ней угла (2 признак)
• три стороны (3 признак)

Равные элементы (стороны или углы) могут быть указаны в условии задачи, либо анализируем чертёж (вертикальные углы, общая сторона, биссектриса угла, медиана в треугольнике или середина отрезка). Равные элементы необходимо отметить на чертеже – это облегчит рассуждения.

2. ЗАПИСЫВАЕМ РЕШЕНИЕ

Рассмотрим треугольник… и треугольник….

Значит треугольник… равен треугольнику… по (указать признак равенства треугольников)

Итак, как выписать равные элементы.

1. Выписываем те элементы, равенство которых дано в условии.

2. Недостающие равные углы можно получить из следующих условий:

(по св-ву вертикальных углов)

DC – биссектриса. Это означает равенство углов:

(т. к. DC – биссектриса)

RO – высота. Это означает равенство углов:

(т. к. RO – высота)

RO QP . Это означает равенство углов:

(т. к. RO QP )

Для треугольников ВСЕ и АС D угол С общий:

— общий

Углы, смежные с равными – равны.

(как смежные с равными)

Недостающие равные стороны можно получить из следующих условий:

RO – медиана. Это означает равенство отрезков, сторон:

QO = OP (т. к. RO – медиана)

O – середина отрезка QP . Это означает равенство отрезков, сторон:

QO = OP (т. к. O – середина QP )

Кроме того, равенство сторон или углов треугольников может следовать из равенства других треугольников .

Пример оформления задачи.

В

Дано: ВО= OD , АО=СО С

Док-ть: О

Доказательство:

ВО= DO (по усл.) по 1 признаку

(верт.)

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁ (Рис.3). Пусть AB=A₁B₁, AС=A₁С₁ и ∠A=∠A₁. Докажем, что .

Видео:первый признак равенства треугольников. Задачи по готовым чертежам, рисункам. 7 классСкачать

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁ (Рис.4). Пусть AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Докажем, что .

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁. Пусть AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, вершина B совмещалась с вершиной B₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны три варианта: луч CC₁ проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC₁ совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC₁ проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольник BСС₁ равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Видео:Можно ли так повернуть налево?/Три задачки для опытных водителейСкачать

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

🌟 Видео

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Задачи на доказательство по геометрии. Первый признак равенства треугольников.Скачать

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольниковСкачать

Задачи. Второй признак равенства треугольников. По рисункам. Доказать.Скачать