Интеграл по окружности пример

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры
Содержание
  1. Понятие криволинейного интеграла
  2. Криволинейные интегралы первого рода
  3. Криволинейные интегралы второго рода
  4. Вычисление криволинейных интегралов первого рода
  5. Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
  6. Кривая дана в параметрической форме
  7. Вычисление криволинейных интегралов второго рода
  8. Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
  9. Кривая дана в параметрической форме
  10. Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
  11. Вычисление длины дуги кривой
  12. Вычисление площади участка плоскости
  13. Вычисление площади цилиндрической поверхности
  14. Вычисление массы материальной кривой
  15. Определение статических моментов материальной кривой
  16. Вычисление моментов инерции материальной кривой
  17. Вычисление координат центра тяжести материальной кривой
  18. Вычисление работы силы
  19. Поверхностные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения
  20. Поверхностный интеграл первого рода
  21. Интеграл по цилиндрической поверхности
  22. Интеграл по сферической поверхности
  23. Определение и свойства поверхностных интегралов
  24. Поверхностный интеграл I рода
  25. Вычисление поверхностного интеграла I рода
  26. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
  27. Площадь поверхности
  28. Масса поверхности
  29. Моменты, центр тяжести поверхности
  30. Поверхностный интеграл II рода
  31. Вычисление поверхностного интеграла II рода
  32. Формула Остроградского-Гаусса
  33. Формула Стокса
  34. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода
  35. Интеграл по окружности пример
  36. Контакты
  37. 🎬 Видео

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Понятие криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

Интеграл по окружности пример

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

  1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
  2. В каждой части свободно выбрать точку M.
  3. Найти значение функции в выбранных точках.
  4. Значения функции умножить на
    • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
    • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
  5. Найти сумму всех произведений.
  6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Интеграл по окружности пример

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Интеграл по окружности пример

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) — выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δs i — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i — длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Интеграл по окружности пример.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

Интеграл по окружности пример.

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Интеграл по окружности пример.

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

Интеграл по окружности пример.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

Интеграл по окружности пример.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

Интеграл по окружности пример.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

Интеграл по окружности пример,

а сумма этих интегралов

Интеграл по окружности пример

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Видео:Вычислить интеграл по заданному контуру. Интегрирование по части окружности и по отрезку прямой.Скачать

Вычислить интеграл по заданному контуру. Интегрирование по части окружности и по отрезку прямой.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги Интеграл по окружности примери криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Интеграл по окружности пример.

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где Интеграл по окружности примери интеграл вычисляем по формуле

Интеграл по окружности пример.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу Интеграл по окружности пример(уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) ):

Интеграл по окружности пример.

Из уравнения прямой выразим y через x :

Интеграл по окружности пример.

Тогда Интеграл по окружности примери теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:

Интеграл по окружности пример

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Интеграл по окружности пример

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t (Интеграл по окружности пример) а дифференциал дуги Интеграл по окружности пример, поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Интеграл по окружности пример

Аналогично, если на плоскости задана кривая

Интеграл по окружности пример,

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Интеграл по окружности пример.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — часть линии окружности

Интеграл по окружности пример,

находящаяся в первом октанте.

Интеграл по окружности пример

Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра Интеграл по окружности пример. Так как

Интеграл по окружности пример,

то дифференциал дуги

Интеграл по окружности пример

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Интеграл по окружности пример.

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Интеграл по окружности пример

Видео:ТФКП. ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ от неаналитической функции. Метод замены переменной.Скачать

ТФКП. ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ от неаналитической функции. Метод замены переменной.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции «игрек», выраженной через «икс»: y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение «игрека» через «икс» и определим дифференциал этого выражения «игрека» по «иксу»: Интеграл по окружности пример. Теперь, когда всё выражено через «икс», криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Интеграл по окружности пример

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции «икс», выраженной через «игрек»: x = x(y) , Интеграл по окружности пример. В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Интеграл по окружности пример

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример, если

Интеграл по окружности пример

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке — синяя). Напишем уравнение прямой и выразим «игрек» через «икс»:

Интеграл по окружности пример.

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

Интеграл по окружности пример

б) если L — дуга параболы y = x² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

Интеграл по окружности пример

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема. Если функции P(x,y) , Q(x,y) и их частные производные Интеграл по окружности пример, Интеграл по окружности пример— непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл Интеграл по окружности примерне зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

Интеграл по окружности пример.

Интеграл по окружности пример,

а в подынтегральные функции подставим

Интеграл по окружности пример

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Интеграл по окружности пример

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

если L — часть эллипса

Интеграл по окружности пример

отвечающая условию y ≥ 0 .

Интеграл по окружности пример

Решение. Данная кривая — часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра Интеграл по окружности пример.

Интеграл по окружности пример,

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Интеграл по окружности пример

Если дан криволинейный интеграл и L — замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.

Видео:Формула ГринаСкачать

Формула Грина

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — отрезок прямой Интеграл по окружности примермежду точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим Интеграл по окружности пример, Интеграл по окружности пример. Подставив x = 0 , получим Интеграл по окружности пример, Интеграл по окружности пример. Таким образом, точка пересечения с осью OxA(2; 0) , с осью OyB(0; −3) .

Интеграл по окружности пример

Из уравнения прямой выразим y :

Интеграл по окружности пример.

Интеграл по окружности пример, Интеграл по окружности пример.

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

Интеграл по окружности пример

В подынтегральном выражении выделяем множитель Интеграл по окружности пример, выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:

Интеграл по окружности пример

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — дуга параболы Интеграл по окружности примермежду точками О(0; 0) и B(2; 2) .

Интеграл по окружности пример

Решение. Так как Интеграл по окружности пример, то Интеграл по окружности пример.

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Интеграл по окружности пример

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — дуга астроиды

Интеграл по окружности пример

в первом квадранте.

Интеграл по окружности пример

Решение. В первом квадранте Интеграл по окружности пример. Определим дифференциал дуги:

Интеграл по окружности пример

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Интеграл по окружности пример

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — первая арка циклоиды

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π . Определим дифференциал дуги:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример.

Подставим в криволинейный интеграл dl и y , выраженные через параметр t и получаем:

Интеграл по окружности пример

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5) .

Интеграл по окружности пример

Решение. Составим уравнение прямой AB :

Интеграл по окружности пример.

Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:

Интеграл по окружности пример

Поэтому Интеграл по окружности примери теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Интеграл по окружности пример

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

Интеграл по окружности пример,

где L — первая арка циклоиды

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Решение. Из уравнений кривой следует

Интеграл по окружности пример.

Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π , то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример.

Уравнением кривой M 0 M 1 является y = 1 , тогда dy = 0 , на кривой M 1 M x — константа, значит, dx = 0 . Продолжаем и завершаем решение:

Интеграл по окружности пример

Вычисление длины дуги кривой

Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл первого рода равен длине дуги кривой L:

Интеграл по окружности пример.

Пример 12. Вычислить длину дуги кривой

Интеграл по окружности пример,

где Интеграл по окружности пример.

Интеграл по окружности пример

Решение. Составляем криволинейный интеграл первого рода:

Интеграл по окружности пример.

Определим производную «игрека»:

Интеграл по окружности пример.

Продолжаем и завершаем решение:

Интеграл по окружности пример

Вычисление площади участка плоскости

Если границей участка D плоскости является кривая L, то площадь участка D можно вычислить в виде криволинейного интеграла второго рода

Интеграл по окружности пример.

Пример 13. Вычислить площадь участка плоскости, ограниченного эллипсом

Интеграл по окружности пример.

Интеграл по окружности пример

Решение. Площадь участка плоскости можно вычислить как криволинейный интеграл второго рода

Интеграл по окружности пример,

где L — замкнутая линия, ограничивающая участок. Так как

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример.

Вычисление площади цилиндрической поверхности

Пусть на плоскости xOy дана гладка кривая L, в точках которой определена непрерывная функция двух переменных Интеграл по окружности пример. Построим цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси Oz, и которая заключена между кривой L и поверхностью Интеграл по окружности пример. Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

Интеграл по окружности пример.

Вычисление массы материальной кривой

Если L — материальная кривая с плотностью Интеграл по окружности пример, то массу материальной кривой можно вычислить по формуле

Интеграл по окружности пример

Определение статических моментов материальной кривой

Статические моменты материальной кривой с плотностью Интеграл по окружности примеротносительно осям координат вычисляются по формулам

Интеграл по окружности пример,

Интеграл по окружности пример.

Вычисление моментов инерции материальной кривой

Моменты инерции материальной кривой с плотностью Интеграл по окружности примеротносительно осей координат и начала системы координат можно вычислить по формулам

Интеграл по окружности пример,

Интеграл по окружности пример,

Интеграл по окружности пример.

Вычисление координат центра тяжести материальной кривой

Координаты центра тяжести Интеграл по окружности примерматериальной кривой с плотностью Интеграл по окружности примерможно определить по формулам

Интеграл по окружности пример,

Интеграл по окружности пример.

Вычисление работы силы

Если под воздействием переменной силы Интеграл по окружности примерматериальная точка перемещается из точки M в точку N по кривой L=MN, то приложенную работу можно вычислить по формуле

Интеграл по окружности пример.

Пример 14. В каждой точке плоскости действует сила Интеграл по окружности пример. Вычислить работу, совершаемую силой при перемещении единицы массы по дуге параболы Интеграл по окружности примериз точки O(0;0) в точку А(4;2) .

Интеграл по окружности пример

Решение. Работу силы вычислим как криволинейный интеграл второго рода

Интеграл по окружности пример.

Используя уравнение параболы, производим замену переменной

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода

Поверхностные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Поверхностные интегралы» вы познакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех
переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к повторному), проецируя заданную поверхность на одну из координатных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.

Интеграл по окружности пример

Видео:ТФКП. Интегральная формула Коши. Примеры решений типовых задач. Решение контурных интегралов.Скачать

ТФКП. Интегральная формула Коши. Примеры решений типовых задач. Решение контурных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример — часть поверхности, описываемая уравнением F(x,y,z) = 0
и некоторыми неравенствами.

План решения. Поверхностный интеграл сводится к двойному
проецированием Интеграл по окружности примерна координатную плоскость XOY по формуле

Интеграл по окружности пример

где D — проекция Интеграл по окружности примерна плоскость XOY, Интеграл по окружности пример— угол между нормалью
к поверхности Интеграл по окружности примери осью OZ; z(x, у) определяем из уравнения поверхности F(x, у, z) = 0.

Замечание:

Если уравнение F(x,y,z) = 0 не определяет однозначно функцию z = z(x,y), то проецируем Интеграл по окружности примерна другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можно
также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).

1.Единичные нормальные векторы Интеграл по окружности примерк поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

Интеграл по окружности пример

2.Проекцию D поверхности Интеграл по окружности примерна плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих Интеграл по окружности пример.

3.Находим z = z(x, у), решая уравнение F(x, у, z) = 0.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— часть плоскости

Интеграл по окружности пример

расположенная в первом октанте (т.е. Интеграл по окружности пример).

Решение:

1.Единичные нормальные векторы Интеграл по окружности примерк по-
поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

Интеграл по окружности пример

В данном случае F(x,y,z) = х + 2у + 3z — 1. Следовательно,

Интеграл по окружности пример

2.Поверхность Интеграл по окружности примеропределяется условиями

Интеграл по окружности пример

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,
определяющих Интеграл по окружности пример:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

3.Из уравнения х + 2у + 3z — 1 = 0 находим z(x, у) = (1 — х — 2у)/3.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:

Интеграл по окружности пример

Ответ. Интеграл по окружности пример

Интеграл по цилиндрической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример — часть поверхности Интеграл по окружности пример вырезаемая плоскостями
z = 0 и z = h.

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

Интеграл по окружности пример

В этих координатах поверхность задается условиями

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— часть поверхности Интеграл по окружности примервырезаемая плоскостями
z = 0, z = 2.

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

Интеграл по окружности пример

В этих координатах поверхность задается условиями

Интеграл по окружности пример

2.Так как Интеграл по окружности примери Интеграл по окружности примерто имеем

Интеграл по окружности пример

3.Вычисляем повторный интеграл:

Интеграл по окружности пример

Ответ. Интеграл по окружности пример

Интеграл по сферической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример — верхняя полусфера

Интеграл по окружности пример

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

Интеграл по окружности пример

В этих координатах поверхность задается условиями

Интеграл по окружности пример

2.Так как Интеграл по окружности примеримеем

Интеграл по окружности пример

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— верхняя полусфера

Интеграл по окружности пример

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

Интеграл по окружности пример

В этих координатах поверхность задается условиями

Интеграл по окружности пример

2.Так как Интеграл по окружности примери Интеграл по окружности примеримеем

Интеграл по окружности пример

3.Вычисляем повторный интеграл:

Интеграл по окружности пример

Ответ.Интеграл по окружности пример

Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах

Определение и свойства поверхностных интегралов

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Видео:Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го родаСкачать

Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го рода

Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S , пространства Oxyz определена непрерывная функция f(х; у; z). Разобьем поверхность S на п частей Интеграл по окружности примерплощади которых обозначим через ДSi (см. рис. 246), а диаметры — через Интеграл по окружности примерВ каждой части Интеграл по окружности примервозьмем произвольную точку Интеграл по окружности примери составим сумму

Интеграл по окружности пример

Она называется интегральной для функции f(x;y;z) по поверхности S.

Если при Интеграл по окружности примеринтегральная сумма (57.1) имеет пре-дел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается Интеграл по окружности пример

Таким образом, по определению,

Интеграл по окружности пример

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

Интеграл по окружности пример

3. Если поверхность S разбить на части Интеграл по окружности примертакие, что Интеграл по окружности примера пересечение Интеграл по окружности примерсостоит лишь из границы, их разделяющей, то

Интеграл по окружности пример

4.Если на поверхности S выполнено неравенство

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

7.Если f(x; у, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка Интеграл по окружности примертакая, что

Интеграл по окружности пример

(теорема о среднем значении).

Видео:Демидович №4367: интеграл по окружностиСкачать

Демидович №4367: интеграл по окружности

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части Интеграл по окружности примерОбозначим через Интеграл по окружности примерпроекцию Интеграл по окружности примерна плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой на п частей Интеграл по окружности примерВозьмем в произвольную точку Интеграл по окружности примери восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью S . Получим точку Интеграл по окружности примерна поверхности Интеграл по окружности пример. Проведем в точке М, касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть Интеграл по окружности пример, которая на плоскость Оху проектируется в область Интеграл по окружности пример(см. рис. 247). Площади элементарных частей Интеграл по окружности примеробозначим как Интеграл по окружности примерсоответственно. Будем приближенно считать, что

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Обозначив черезИнтеграл по окружности пример, острый угол между осью Oz и нормалью п, к поверхности в точке Интеграл по окружности примерполучаем:

Интеграл по окружности пример

(область Интеграл по окружности примересть проекция Интеграл по окружности примерна плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z = = z(x;y), то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке Интеграл по окружности примересть

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол уг есть угол между векторами Интеграл по окружности примери

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Равенство (57.4) принимает вид

Интеграл по окружности пример

В правой части формулы (57.2) заменим Интеграл по окружности пример(учитывая (57.3)) на полученное выражение для Интеграл по окружности пример, a Интеграл по окружности примерзаменим на Интеграл по окружности примерПоэтому, переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра Интеграл по окружности пример(а следовательно, и Интеграл по окружности пример), получаем формулу

Интеграл по окружности пример

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у = y(x;z) или х = x(y;z), то аналогично получим:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример:

Вычислить Интеграл по окружности пример— часть плоскости Интеграл по окружности примеррасположенной в I октанте (см. рис. 248).

Решение:

Запишем уравнение плоскости в виде Интеграл по окружности пример

Находим Интеграл по окружности примерПо формуле (57.5) имеем:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Пример:

Интеграл по окружности пример

где S — часть цилиндрической поверхности Интеграл по окружности примеротсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 249).

Решение:

Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

то где Интеграл по окружности пример— прямоугольник Интеграл по окружности пример

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x; у) и zy'(x;y) — непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы Интеграл по окружности примерВсе эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть Интеграл по окружности примерДля нахождения массы поверхности:

  1. Разбиваем поверхность S на п частей Интеграл по окружности примерплощадь которой обозначим Интеграл по окружности пример.
  2. Берем произвольную точку Интеграл по окружности примерв каждой области Интеграл по окружности пример. Предполагаем, что в пределах области Интеграл по окружности примерплотность постоянна и равна значению ее в точке Интеграл по окружности пример.
  3. Масса Интеграл по окружности примеробласти Интеграл по окружности примермало отличается от массы Интеграл по окружности примерфиктивной однородной области с постоянной плотностью

Интеграл по окружности пример

4. Суммируя Интеграл по окружности примерпо всей области, получаем: Интеграл по окружности пример

5.За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей Интеграл по окружности пример, т. е.

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Пример:

Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее уравнение Интеграл по окружности пример— поверхностная плотность полусферы.

Интеграл по окружности пример

По формуле (57.7) находим:

Интеграл по окружности пример

Переходим к полярным координатам:

Интеграл по окружности пример

внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r= Rsint:

Интеграл по окружности пример

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Поверхностный интеграл II рода

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z =f(x;y), где f(x;y), Интеграл по окружности пример— функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т.д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, a В — с D (см. рис. 251).

Интеграл по окружности пример

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части Интеграл по окружности пример, где i = 1,2,…,п, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Интеграл по окружности примерберем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. Интеграл по окружности примерсо знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или Интеграл по окружности пример) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— площадь проекции Интеграл по окружности примерна плоскость Оху. Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Интеграл по окружности пример

Предел интегральной суммы (58.1) при Интеграл по окружности примересли он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части Интеграл по окружности примери от выбора точек Интеграл по окружности примерназывается поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным x и у по выбранной стороне поверхности и обозначается

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z и z и х:

Интеграл по окружности пример

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

Интеграл по окружности пример

где P, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности S.

Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается Интеграл по окружности пример, по внутренней Интеграл по окружности пример.

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

  1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
  3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
  4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности Интеграл по окружности примерравен сумме интегралов по ее частям Интеграл по окружности пример(аддитивное свойство), если Интеграл по окружности примерпересекаются лишь по границе, их разделяющей.
  5. Если Интеграл по окружности пример— цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то

Интеграл по окружности пример

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть функция R(x; у, z) непрерывна во всех точках поверхности S, заданной уравнением z = z(x; y), где z(x; у) — непрерывная функция в замкнутой области D (или Интеграл по окружности пример) — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Тогда Интеграл по окружности пример

Так как Интеграл по окружности пример, то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде

Интеграл по окружности пример

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равенстве (58.2) при Интеграл по окружности пример, получаем формулу

Интеграл по окружности пример

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус». Поэтому

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример— проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz соответственно (замкнутые области).

В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = y(x;z), а в формуле (58.6) — уравнением х = x(y;z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в формуле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый угол, а знак «минус» — если тупой угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (58.4)-(58.6), проектируя поверхность S на все три координатные плоскости:

Интеграл по окружности пример

Замечание:

Можно показать справедливость равенств

Интеграл по окружности пример

— элемент площади поверхности Интеграл по окружности пример— направляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением

Интеграл по окружности пример

Пример:

Интеграл по окружности пример

по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV октанте.

Решение:

На рисунке 253 изображена заданная часть плоскости. Нормаль п, соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и Oz — острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора Интеграл по окружности пример= (2; —3; 1) плоскости:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) — знак «минус». Следовательно,

Интеграл по окружности пример

Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y,z), R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

Интеграл по окружности пример

где S — граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

Формула (58.9) называется формулой Остроградского-Гаусса (является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).

Пусть область V ограничена снизу поверхностью Интеграл по окружности пример, уравнение которой Интеграл по окружности примерсверху — поверхностью Интеграл по окружности пример, уравнение которой Интеграл по окружности пример(функции Интеграл по окружности примернепрерывны в замкнутой области D — проекции V на плоскость Интеграл по окружности пример, сбоку — цилиндрической поверхностью Интеграл по окружности пример, образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 254).

Рассмотрим тройной интеграл

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей Интеграл по окружности примерсоответственно (см. (58.3)). Получаем:

Интеграл по окружности пример

Добавляя равный нулю интеграл Интеграл по окружности примерпо внешней стороне Интеграл по окружности пример(см. свойство 5 п. 58.1), получим:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

где S — поверхность, ограничивающая область V. Аналогично доказываются формулы

Интеграл по окружности пример

Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем формулу (58.9) Остроградского-Гаусса.

Замечания:

  1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.
  2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

Пример:

Интеграл по окружности пример

где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0.

Решение:

По формуле (58.9) находим:

Интеграл по окружности пример

Заметим, что интеграл Интеграл по окружности пример(см. пример 58.1) можно вычислить иначе:

Интеграл по окружности пример

где поверхности Интеграл по окружности примересть соответственно треугольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). Имеем:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

Интеграл по окружности пример

где L — граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стоке — английский математик, физик).

Пусть z = f(x;y) — уравнение поверхности S, функции Интеграл по окружности примернепрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Оху), Интеграл по окружности пример— граница области D (см. рис. 256).

Интеграл по окружности пример

Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида Интеграл по окружности пример

Значения функции Р(х; у; z) на L равны значениям функции P(x; y;z(x;y)) на Интеграл по окружности пример. Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам Интеграл по окружности примерсовпадают. Поэтому

Интеграл по окружности пример

Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Тогда получим:

Интеграл по окружности пример

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхностный интеграл II рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде

Интеграл по окружности пример

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. Интеграл по окружности пример— острый угол между нормалью Интеграл по окружности примерк поверхности S и осью Oz), то нормаль Интеграл по окружности примеримеет проекции Интеграл по окружности пример1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:

Интеграл по окружности пример

Отсюда Интеграл по окружности примерТогда

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример

Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства:

Интеграл по окружности пример

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.13).

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

Интеграл по окружности пример

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

Интеграл по окружности пример

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Пример:

Вычислить Интеграл по окружности примергде контур L — окружность Интеграл по окружности примера) непосредственно,
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу Интеграл по окружности пример

Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257.

Интеграл по окружности пример

а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

Интеграл по окружности пример

По формуле (56.7) имеем:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

б) По формуле Стокса (58.13) находим:

Интеграл по окружности пример

Переходя к полярным координатам, получаем:

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

С помощью поверхностного интеграла 11 рода можно найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью Интеграл по окружности примерснизу — поверхностью Интеграл по окружности примерсбоку — цилиндрической поверхностью Интеграл по окружности пример, образующие которой параллельны оси Oz:

Интеграл по окружности пример

где Интеграл по окружности пример

Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (58.9) Интеграл по окружности примернаходим:

Интеграл по окружности пример

Аналогично, полагая P = 0, Q = у, R = 0, находим еще одну формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного интеграла II рода:

Интеграл по окружности пример

Наконец, положив Р = 0, Q = 0, R = z, по формуле (58.9) находим третью формулу

Интеграл по окружности пример

выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.

Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, получим формулу (58.14).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Интеграл по окружности пример

Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример Интеграл по окружности пример

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Криволинейный интеграл первого родаСкачать

Криволинейный интеграл первого рода

Интеграл по окружности пример

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

🎬 Видео

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Площадь круга через интегралСкачать

Площадь круга через интеграл

ТФКП. Вычисление контурного интеграла по вычетам.Скачать

ТФКП. Вычисление контурного интеграла по вычетам.

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Криволинейный интеграл 1 рода

Зачем нужен ИНТЕГРАЛ. Объяснение смыслаСкачать

Зачем нужен ИНТЕГРАЛ. Объяснение смысла

Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интеграловСкачать

Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интегралов
Поделиться или сохранить к себе:
Интеграл по окружности пример