Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеОкружность описанная около треугольника
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48Скачать

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника. ЗадачаСкачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Задача

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:41 Задача о радиусе, окружности описанной около прямоугольного треугольникаСкачать

41 Задача о радиусе, окружности описанной около прямоугольного треугольника

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника

Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB

Доказать : ∆ABC — прямоугольный,

AB — хорда проходящая через центр окружности. Значит, AB — диаметр.

Значит, треугольник ABC — прямоугольный, AB — гипотенуза.

Что и требовалось доказать .

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найти AC, если BC=32.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на сторонеДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB, R=20, BC=32

Так как центр описанной около треугольника окружности ABC окружности лежит на стороне AB, то ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.

Видео:Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из егоСкачать

Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Видео:ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16. И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.Скачать

ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16.  И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике
— это две стороны прилежащие к прямому углу.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Видео:№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. НайСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Най

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на стороне

Видео:Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

🎥 Видео

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классы

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольникаСкачать

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольника

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике
Поделиться или сохранить к себе: