Тригонометрическая окружность на егэ

Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, тригонометрический круг :

Тригонометрическая окружность на егэ

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрическая окружность на егэТригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит тригонометрический круг ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, Тригонометрическая окружность на егэградусов, или Тригонометрическая окружность на егэ.

Тригонометрическая окружность на егэ

Никак. можно, конечно, подключить формулы приведения… А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

Тригонометрическая окружность на егэ

Тригонометрическая окружность на егэ

И, наконец, такой:

Тригонометрическая окружность на егэ

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит Тригонометрическая окружность на егэ, на втором месте стоит Тригонометрическая окружность на егэ, а на последнем – Тригонометрическая окружность на егэ. То есть нас будет больше интересовать цепочка Тригонометрическая окружность на егэ.

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы Тригонометрическая окружность на егэ.

Тригонометрическая окружность на егэПолучаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Тригонометрическая окружность на егэ

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем Тригонометрическая окружность на егэ. А мы знаем, что против угла в Тригонометрическая окружность на егэлежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть Тригонометрическая окружность на егэ).

Значит, АВ= Тригонометрическая окружность на егэ(а следовательно, и ОМ=Тригонометрическая окружность на егэ). А по теореме Пифагора Тригонометрическая окружность на егэ

Тригонометрическая окружность на егэ

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Тригонометрическая окружность на егэ

Тригонометрическая окружность на егэ

Так вот точка В и будет соответствовать значению Тригонометрическая окружность на егэ, а точка М – значению Тригонометрическая окружность на егэ

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . Про тангенс и котангенс позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.

Тригонометрическая окружность на егэ

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

Как запомнить тригонометрический круг?

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть (16) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

Тригонометрическая окружность на егэ Тригонометрическая окружность на егэ

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:

— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

Тригонометрическая окружность на егэ

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен (1), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

Тригонометрическая окружность на егэ

Тригонометрическая окружность на егэ

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

Тригонометрическая окружность на егэ

Шаг 4. Значение «(1)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, (-1) находятся на одном уровне с (-1) на оси синусов и косинусов.

Тригонометрическая окружность на егэ

Шаг 5. Дальше стоит понять, что (±frac<sqrt>) находится ближе к (0), чем (±sqrt).

Тригонометрическая окружность на егэ

Шаг 6. (±sqrt) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

Тригонометрическая окружность на егэ

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (36sqrt, tg,frac sin⁡,frac).
Решение:

Видео:Тригонометрическая окружность в ЕГЭ. Как запомнить? | УмскулСкачать

Тригонометрическая окружность в ЕГЭ. Как запомнить? | Умскул

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тригонометрическая окружность на егэ

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    🎬 Видео

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Тригонометрическая окружность. Задание 13 | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать

    Тригонометрическая окружность. Задание 13 | Математика ЕГЭ | Умскул

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис Трушин

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Тригонометрия с нуляСкачать

    Тригонометрия с нуля

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ  😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

    Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

    Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик ЛегионСкачать

    Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик Легион

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля | ЕГЭ профильная математикаСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля | ЕГЭ профильная математика

    Тригонометрическая окружностьСкачать

    Тригонометрическая окружность

    12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

    12 часов Тригонометрии с 0.

    Тригонометрическая окружностьСкачать

    Тригонометрическая окружность

    Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

    Тригонометрическая окружность для непонимающих
    Поделиться или сохранить к себе: