Три равные окружности имеют общую точку (6 видео)

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Обозначим ∠ABD=∠ACD=α.

Опишем около треугольника ABD окружность.

Отметим на этой окружности произвольную точку F, лежащую относительно прямой AD в другой полуплоскости, чем точки B и C.

Четырёхугольник ABDF — вписанный в окружность. Следовательно, сумма его противолежащих углов равна 180°:

Рассмотрим четырехугольник ACDF.

Отсюда следует, что четырёхугольник ABDF — вписанный.

Поскольку около треугольника ABD можно описать только одну окружность, то точка C лежит на той же окружности, что и точки A, B и D.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Радикальная ось двух окружностей

Разделы: Математика

углубить знания по темам «окружность» и «дополнительные построения», расширение математических познаний;
совершенствовать навыки доказательств теорем;
изучить метод решения геометрических задач с помощью свойств радикальной оси двух окружностей.

развивать учебно-познавательную деятельность обучающихся;
развивать логическое мышление и умения применять знания в нестандартных ситуациях.

3. Воспитательная: воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Оборудование: мел, доска, проектор.

Тип урока: изучение нового и первичное закрепления новых знаний.

Организационный момент – 2 мин.
Вступительное слово учителя – 1 мин.
Актуализация опорных знаний – 1 мин.
Формирование нового – 30 мин.
Первичное закрепление – 10 мин.
Рефлексия – 1 мин.

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступительное слово.

Если отслеживать историю достижений учащихся на математических соревнованиях, то можно не раз заметить такую картину: до 9 класса ученик очень успешно выступает на различных олимпиадах, однако почему то в 10 классе его результаты сильно понижаются. Трудно полностью объяснить причину подобного, однако, несомненно, что это отчасти связано с существенным различием в уровне задач 9 и 10 классов. Непосвященному это трудно заметить. Например, остановимся геометрических задачах, связанных с окружностью. В большинстве случаев такие задачи можно решить методами 9 классов, однако, такое решение будет слишком громоздким и отнимет много времени на оформление, что в виду ограниченности времени на олимпиадах далеко не всегда осуществимо. Поэтому изучение методов 10 класса для решения задач является жизненной необходимостью для успешного участия на олимпиадах, хотя в истории бывали и исключения, когда некоторые умудрялись решить сложную задачу 10 класса методами 9 класса.

3. Актуализация опорных знаний.

Традиционно на олимпиадах есть хотя бы одна геометрическая задача, а среди таких задач наибольшую трудность вызывают задачи связанные с окружностями. Несмотря на то, что не существует общего метода решения всех геометрических задач, связанных с окружностью, для решения достаточно большого класса таких задач оказываются полезным свойства радикальной оси, поляр, полюсов и некоторых элементов проективной геометрии. Сегодня мы начнем изучение некоторых первичных свойств радикальной оси, однако даже эти свойства могут быть полезны для решения сложных геометрических задач, которые встречаются на международных олимпиадах. Также мы разберем решения нескольких задач российских геометрических олимпиад, заслуженно признанных одними из самых сложных по геометрии.

4. Формирование нового.

Определение 1 (см. [1], стр. 122). Пусть дана окружность ω с центром в точке О и радиусом R. Степенью точки М относительно окружности ω называется число ОМ 2 – R 2 .

Определение 2 (см. [1], стр. 122). Пусть даны две окружности ω₁ и ω₂. Радикальной осью двух окружностей называется множество всех точек плоскости, каждая из которых имеет равные степени относительно этих окружностей.

Теорема 1. Пусть даны две окружности ω₁ и ω₂, центры которых различны. Тогда для этих окружностей радикальная ось существует и является прямой линией.

Если две окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в двух различных точках, то радикальная осью этих окружностей является прямая проходящая через точки их пересечения.
Если две окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним или внутренним образом, то их радикальная ось совпадает с общей касательной в точке касания окружностей.
Если две окружности ω₁ и ω₂ лежат одна вне другой, не касаясь, то радикальная ось содержит середины общих касательных этих окружностей.

Доказательство. Вне зависимости от того как пересекаются окружности согласно теореме о том, что разность квадратов наклонных, проведенных из одной точки, равна разности квадратов из проекций на прямую, геометрическим местом точек, имеющих одинаковые степени относительно двух заданных окружностей, является прямая, перпендикулярная линии центров окружностей. Для того, чтобы однозначно знать положение прямой достаточно знать две ее точки.


I	I I	I I I

В первом случае, когда окружности пересекаются в двух точках, эти точки будут иметь равные степени относительно них, равные нулю, поэтому радикальной осью для таких окружностей будет прямая, проходящая через точки пересечения окружностей.

Во втором случае, когда окружность каются внешним или внутренним образом, также общая точка окружностей будет иметь одинаковые степени относительно них, значит, в этом случае радикальной осью будет прямая, проходящая через точку касания окружностей и перпендикулярная их линии центром.

В третьем случае, радикальная ось будет проходить через середины отрезков общих касательных, поскольку степенью точки этих точки является квадрат отрезка касательной, проведенной из точки к окружности.

Замечание 1. Теорема 1 применима и в случае, если радиус одной из окружностей равен нулю.

Пример 1 (см. [2], стр. 64, задача №3.65). На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

Решение (см. [2], стр. 76). Пусть M – середина отрезка CH. Докажем, что точка M лежит на радикальной оси окружностей S и S₁, т.е. её степени относительно этих окружностей равны. Пусть радиусы окружностей S и S₁ равны 2R и 2r.

Тогда степень точки M относительно окружности S₁ равна CM 2 – 4r 2 = -3r 2 , а её степень относительно S равна OM 2 – 4R 2 , где O – середина отрезка AB. Ясно, что OH 2 = 4R 2 – 4r 2 , поэтому OM 2 = 4R 2 – 4r 2 + r 2 = 4R 2 – 3r 2 . Следовательно, OM 2 – 4R 2 = -3r 2 . Таким образом, точка М лежит на ED, следовательно, ED делит CH пополам.

Теорема 2 (см. [1], стр.125). Если центры трех окружностей неколлинеарные, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, имеют общую точку.

Доказательство. Пусть даны три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃, центры которых неколлинеарные.

Поскольку центры трех окружностей неколлинеарные, то прямые перпендикулярные O₁O₂ и O₁O₃ пересекаются, значит, не параллельны и радикальные оси к Ω₁ и Ω₂, а также к Ω₁ и Ω₃ пересекаются в некоторой точке, которую обозначим буквой Е. Отсюда, степени точки Е относительно Ω₁ и Ω₂ равны, и относительно Ω₁ и Ω₃ тоже равны. Следовательно, точки Е имеет одинаковые степени относительно Ω₂ и Ω₃, а это означает, что она лежит на радикальной оси к окружностям Ω₂ и Ω₃, т.е. все три радикальные оси пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Пример 2 (Турнир городов, весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс, 2012 г.). Четырехугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

Решение (см. [3]). обозначим через Ω₁ и Ω₂ касающиеся окружности, содержащие соответственно хорды AB и СD, а через Ω – описанную окружность четырехугольника ABCD. Пусть O – точка пересечения прямых AB и СD.

Тогда согласно теореме 1 прямая AB – радикальная ось окружностей Ω₁ и Ω, CD – радикальная ось окружностей Ω₂ и Ω, а общая касательная окружностей Ω₁ и Ω₂ – их радикальная ось. Согласно теореме 2 эти три радикальные оси пересекаются в одной точке, которую обозначим буквой O.

При этом квадрат длина касательной OX равна степени точки O относительно Ω₁, то есть OA× OB, значит, что точка X лежит на окружности с центром О и радиусом .

Пример 3 (Московская устная олимпиада по геометрии, 8-9 класс, 2005). Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C – прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.

Решение №1 (см. [3]). Поскольку по теореме Пифагора

BD 2 + EF 2 = BC 2 + CD 2 + EF 2 = AB 2 + DE 2 + AF 2 = BF 2 + DE 2 , то согласно критерию перпендикулярности диагоналей выпуклого четырехугольника FD и BE перпендикулярны.

Решение №2 (см. [3]). Рассмотрим окружности с центрами D и F и радиусами DC и EF соответственно. Тогда BA = BC – касательные к этим окружностям, а точка E принадлежит обеим окружностям, поэтому BE – их радикальная ось, и следовательно, она перпендикулярна линии центров FD.

5. Первичное закрепление.

(Всероссийская олимпиада по математике, 10 класс, 2011 г.) Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.

(Московская устная олимпиада по геометрии, 10-11 класс, 2011 г.) Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB ǁ CD). Произвольная окружность, проходящая через точки A и B, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

(Всероссийская олимпиада по математике, 11 класс, 2005 г.) Пусть AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C’. Докажите, что отрезок CC’ перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

— Что особенно сегодня вам запомнилось?

— Полезно ли для решения некоторых геометрических задач знать свойства радикальной оси двух окружностей?

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Математика. Задачи с тремя равными окружностями.

Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.

Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды: