Ротор ротора вектора а

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Ротор ротора вектора аРотор ротора вектора а

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:ДИВЕРГЕНЦИЯ и РОТОР векторного поляСкачать

ДИВЕРГЕНЦИЯ и РОТОР векторного поля

Ротор векторного поля. Формула Стокса

Ротор ротора вектора а

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Ротор ротора вектора а

называется вектор, обозначаемый Ротор ротора вектора аи определяемый формулой

Ротор ротора вектора а

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Ротор ротора вектора а

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Ротор ротора вектора а— постоянный вектор, то Ротор ротора вектора а.
  2. Ротор ротора вектора а, где Ротор ротора вектора а.
  3. Ротор ротора вектора а, т. e. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если Ротор ротора вектора а— скалярная функция, а Ротор ротора вектора а— векторная, то

Ротор ротора вектора а

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Ротор ротора вектора а

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Ротор ротора вектора а

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Ротор ротора вектора апо контуру Ротор ротора вектора а, т. е. Ротор ротора вектора а(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Ротор ротора вектора ачерез поверхность Ротор ротора вектора а, ограниченную контуром Ротор ротора вектора а(см. (71.3)), т. е.

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Ротор ротора вектора а

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре Ротор ротора вектора аи выбор стороны у поверхности Ротор ротора вектора асогласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Ротор ротора вектора авдоль замкнутого контура Ротор ротора вектора аравна потоку ротора этого вектора Ротор ротора вектора ачерез поверхность Ротор ротора вектора а, лежащую в поле вектора Ротор ротора вектора аи ограниченную контуром Ротор ротора вектора а(натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки Ротор ротора вектора ас контуром Ротор ротора вектора а, содержащей точку Ротор ротора вектора а.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Ротор ротора вектора а

где Ротор ротора вектора а— некоторая (средняя) точка площадки Ротор ротора вектора а(см. рис. 279).

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а

Пусть контур Ротор ротора вектора астягивается в точку Ротор ротора вектора а. Тогда Ротор ротора вектора а, a Ротор ротора вектора а. Перейдя к пределу, получаем:

Ротор ротора вектора а

Ротором вектора Ротор ротора вектора ав точке Ротор ротора вектора аназывается вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора Ротор ротора вектора апо контуру Ротор ротора вектора аплоской площадки Ротор ротора вектора а, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Ротор ротора вектора аесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор ноля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Ротор ротора вектора ас постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Ротор ротора вектора а, т. е. ротор вектора Ротор ротора вектора а.

По определению ротора

Ротор ротора вектора а

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Ротор ротора вектора апредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание. Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке Ротор ротора вектора а.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Ротор ротора вектора а

Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а Ротор ротора вектора а

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Ротор векторного поляСкачать

Ротор векторного поля

Ротор векторного поля и его физический смысл

В качестве еще одной важной меры направленности физического поля выступает характеристика, получившая название ротор или вихрь.

Ротор <вихрь)— это векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Ротор поля F обозначается символом rot F, он определяется векторным произведением

Ротор ротора вектора а

где V — векторный дифференциальный оператор набла. Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F представляет собой новое векторное поле.

Физически поле ротора F, т.е. длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства, характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке. Или по-

другому показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке.

Математически ротор векторного поля F — есть вектор, проекция которого rotnF на каждое направление п равна пределу отношения циркуляции векторного поля по замкнутому контуру L, являющемуся краем плоской площадки AS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

Ротор ротора вектора а

При этом направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении п, контур L обходился по часовой стрелке.

В трехмерной декартовой системе координат ротор вычисляется следующим образом:

Ротор ротора вектора а

где i,j и к- единичные орты (векторы) для осейх,у иz соответственно.

Для удобства представления можно условно представлять ротор в матричном виде как векторное произведение, формально представляющее векторное произведение как определитель:

Ротор ротора вектора а

Анализ основных свойств ротора позволяет сделать следующие выводы:

1) Дивергенция ротора векторного поля равна нулю:

Ротор ротора вектора а

т.е. поле не имеет источников. При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле ротора некоторого потенциального поля G:

Ротор ротора вектора а

2) Если поле F потенциально, то его ротор равен нулю в любой точке поля, т.е. поле F является безвихревым:

Ротор ротора вектора а

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально для некоторого скалярного поля (р.

В теории поля между циркуляцией векторного поля и его ротором установлена связь, доказанная теоремой Стокса, которая формулируется следующим образом: циркуляция вектора силы поля по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через поверхность, ограниченную этой кривой, в направлении нормали.

Ротор ротора вектора а

В качестве примера рассмотрим векторное поле, силовые линии, которого линейно зависят от координат х и у. Вид этого поля, закрученного по часовой стрелке, представлен на рис. 2.6 а). Если поместить колесо с лопастями в любой области этого поля, то можно увидеть, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно установить, что поле ввинчивается в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z. График ротора F представлен на рис. 2.6, б).

Ротор ротора вектора а

Рисунок 2.6 — Вихревое векторное поле и график его ротора

Через понятие ротор принято выражать одно из уравнений Максвелла, описывающее закон электромагнитной индукции Фарадея. Данный закон говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряженности магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

🎬 Видео

РоторСкачать

Ротор

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиентСкачать

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиент

Демидович №4436а: ротор радиус-вектораСкачать

Демидович №4436а: ротор радиус-вектора

Демидович №4436.1: значение ротора в точкеСкачать

Демидович №4436.1: значение ротора в точке

#8 Ротор/Дивергенция/ГрадиентСкачать

#8 Ротор/Дивергенция/Градиент

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.Скачать

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.

Котика ударило током, 10 т. ВольтСкачать

Котика ударило током, 10 т. Вольт

СУРДИН: Чёрная дыра на Солнце / Жизнь на экзопланетах/ Спирт на Энцеладе. Неземной подкастСкачать

СУРДИН: Чёрная дыра на Солнце / Жизнь на экзопланетах/ Спирт на Энцеладе. Неземной подкаст

Демидович №4437а: ротор скаляра на постоянный векторСкачать

Демидович №4437а: ротор скаляра на постоянный вектор

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Демидович №4439б: дивергенция ротораСкачать

Демидович №4439б: дивергенция ротора

ДивергенцияСкачать

Дивергенция

Роторно-винтовой двигатель. Пояснения для экспертов. Обзор конструкции.Скачать

Роторно-винтовой двигатель. Пояснения для экспертов. Обзор конструкции.

Демидович №4437б: ротор векторного произведенияСкачать

Демидович №4437б: ротор векторного произведения

Ротор вектора.Циркуляция вектора через роторСкачать

Ротор вектора.Циркуляция вектора через ротор

Ротор векторного поля. Гидродинамическая аналогия. Теорема Стокса.Скачать

Ротор векторного поля. Гидродинамическая аналогия. Теорема Стокса.

Демидович №4439a: ротор градиентаСкачать

Демидович №4439a: ротор градиента
Поделиться или сохранить к себе: