Треугольники на плоскости лобачевского

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке [1] — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них. Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d. я Пусть АВС — произвольный треугольник. По первой теореме Саккери — Лежандра (§ 69, теорема 4) а^с g_{acd = 2d (рис. 220). Так как т0 g abc gabd- ?}

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d.

я Пусть ABCD — данный выпуклый четырехугольник. Проведем диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника АВС и ADC. Тогда А + В + С + D= ст j^dc- Но о две ^ 2d и одре ^ 2d, поэтому

A + B + C + D ф фАВ’; для определенности допустим, что АВ > АВ’. На лучах А В и АС

возьмем точки В»и С»так, чтобы АВ”= АВ’нАС» = Л’С'(рис. 221). По первому признаку равенства треугольников имеем А А»ѻ = = А АВС, поэтому Z 1 = Z 2. По условию Z 2 = Z 3, следовательно, Z 1 = Z 3. Аналогично устанавливаем, что Z 4 = Z 6.

По предположению АВ > А В’, поэтому А — В» — В, т.е. прямая »ѻ пересекает сторону АВ треугольника АВС. В силу равенства Z 1 = Z 3 прямые »ѻ и ВС не пересекаются (см. § 69, лемма 1), следовательно, по аксиоме Паша прямая В «С«пересекает сторону АС треугольника АВС, и значит, А — С» — С. Отсюда следует, что четырехугольник В В «С «С выпуклый. Из равенств Z1=Z3hZ4=Z6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Мы пришли в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = АВ’. По второму признаку равенства треугольников А АВС — Л А В‘С. я

• 2. Выпуклый четырехугольник называется двупрямоуголъником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.
• 1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то Z С = Z D и каждый из углов Си/) острый.

Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 222). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч AD — в луч ВС (так как ZA = ZB = d).В силу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC — в угол BCD. Таким образом, ZC= Z D.

По теореме 2 А + В + С + D Z DCB (Z 2 —внешний угол треугольника CDD’). Таким образом,

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

«Плоские фигуры в геометрии Лобачевского»

Курсовая работа по геометрии для пед.ВУЗа. Писала сама, потому что тема интересная.

Просмотр содержимого документа
«»Плоские фигуры в геометрии Лобачевского»»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный педагогический университет»

Оренбургского государственного педагогического университета

Кафедра алгебры, геометрии и истории математики

по дисциплине: геометрия

«Геометрия плоских фигур на плоскости Лобачевского»

Направление подготовки: Дополнительная профессиональная программа профессиональной переподготовки

Профиль подготовки: математика

Форма обучения: заочная

Верховцева Татьяна Павловна

II курс, группа-математика

Прояева Ирина Владимировна

«___» ____________ 201.. г.

II.Теоретические аспекты геометрии Лобачевского:

II.1.История создания неевклидовой геометрии Лобачевского ………… 5

II.2.Основная аксиома геометрии Лобачевского…………………………..8

II.3. Теорема о существовании параллельных прямых…………………. 11

II.4.Треугольники и четырехугольники на плоскости

II.5. Дефект треугольника и многоугольника…………………………….17

III.Практическое применение геометрии Лобачевского:

1.а Замечание к теореме Пифагора…………… ………………. ……19

III.2.Площадь треугольника………… ………. …………..….…………..19

III.3. Применение геометрии Лобачевского в точных науках………..…20

III.4. Анализ состава исторической справки о Н.И. Лобачевском в

школьном курсе математики……………………………………………….21

V.Список литературы. ……..24

Геометрия – это одна из самых древнейших наук. Она зародилась в Древнем Египте как набор правил для решения практических задач, возникающих при строительстве, при распределении земельных участков, измерении объемов, площадей и других величин. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека.»

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. Основные достижения в области математики были систематизированы около 300 лет до н.э. греческим ученым Евклидом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. Это сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим построением геометрии. «Начала» Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строгого дедуктивного изложения геометрии.

Однако развитие геометрии не стояло на месте. Ученые стремились найти пути логически безупречного построения геометрии. Все чаще они обращались к доказательству постулатов геометрии Евклида. Самым противоречивым ученые считали пятый постулат геометрии Евклида. Попытки вывести его из остальных постулатов и аксиом длились более двух тысяч лет, но были безуспешными. В это время были сформулированы и доказаны теоремы, которые раскрывали новые свойства геометрических фигур.

Одним из первых ученых 19 века, кто построил геометрию, отличную от евклидовой геометрии, стал профессор Казанского университета Н.И.Лобачевский. Именно он дал начало новой неевклидовой геометрии, чаще всего называемой геометрией Лобачевского. Она основана на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных.

Я выбрала именно тему «Геометрия плоских фигур на плоскости Н.И. Лобачевского». Данная тема интересна мне по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, который дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Да и известные каждому плоские фигуры евклидовой геометрии, вероятно, будут вести себя несколько по-другому.

Итак, целью моей работы является изучение материалов геометрии Лобачевского, связанных с геометрией плоских фигур, на примере треугольника и четырехугольника.

Задачами моей курсовой работы являются:

Познакомиться с историей создания геометрии Лобачевского;

Выяснить, какие постулаты являются основополагающими в геометрии Лобачевского;

Исследовать геометрию плоских фигур на плоскости Лобачевского;

Проработать практическое применение и ценность данной геометрии.

II. Теоретические аспекты геометрии Лобачевского

II.1.История создания неевклидовой геометрии Лобачевского

Со времен Евклида геометрию считали аксиоматически построенной математической наукой. Все содержание евклидовой геометрии было построено на системе аксиом. Однако, аксиома параллельных была единственной аксиомой, доказательство которой занимало умы математиков более чем два тысячелетия. Оказалось то, что пятый постулат не зависит от предыдущих. И в начале XIX века, почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России, возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома, заменяющая пятый постулат: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную. Лобачевский, созданием своей геометрии, доказал невозможность логического вывода пятой евклидовой аксиомы. И в 1829 году в своей работе по неевклидовой геометрии «О началах геометрии» он заявил о том, что «допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий». Это вызвало множество негативных откликов со стороны современников. Несмотря на это, Лобачевский продолжил отстаивать свои геометрические идеи на протяжении всей своей жизни.

Основой теории Лобачевского можно считать его слова: «Геометрия зависит от форм движения материальных тел.», то есть аксиомы планиметрии можно рассматривать не только на плоскости, но и в пространстве. Сам Лобачевский называл свою геометрию «воображаемой», хотя доказательство непротиворечивости теории пространственных отношений было дано, когда были указаны ее интерпретации(модели).

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1) Модель Пуанкаре

2) Модель Клейна

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)

1) Модель Пуанкаре.

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Рис. 1

2) Модель Клейна.

За плоскость принимается какой-либо круг (рис. 2.1), за точки — точки принадлежащие этому кругу, за прямые — хорды — конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды — в хорды. Соответственно, «конгруэнтными» называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

Рис. 2

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис. 2.2). Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского.

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)

Э. Бельтрами показал в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.3), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Рис. 3

Рис.4

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.4). То есть, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского.

Таким образом, Лобачевский еще раз доказал, что его геометрия тесно связана со сферической геометрией. В сферической геометрии можно рассматривать треугольники, многоугольники, окружности, выводить формулы для длины окружности, площади круга, выводить соотношения между сторонами и углами треугольников, аналогичные теоремам синусов и косинусов, формулу, связывающую сумму углов с его площадью. Но во все эти формулы будет входить радиус данной сферы. А, если этот радиус сферы заменить на мнимое число, то они превратятся в формулы геометрии Лобачевского.

II.2.Основная аксиома геометрии Лобачевского.

Я упоминала о том, что геометрия Лобачевского осно­вана на I-IV аксиомах евклидовой геометрии и на аксиоме выведенной самим Лобачевским:

Пусть а — произвольная прямая, а A — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и пря­мой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точ­ку А и не пересекающих прямую а.

Из данной аксиомы следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует беско­нечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересе­кающих прямую а. В самом деле, существуют две пря­мые, которые мы обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 1 обозначены циф­рами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, лю­бая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри верти­кальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1).

Условимся считать, что все пря­мые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми.

Прямая АВ называется па­раллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч 1 угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что, ка­ковы бы ни были точки Р’ и Q‘, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q‘P‘B пересекает луч Q‘D. Возможны три случая: точка Р’ совпадает с точкой Р; б) точка Р’ принадлежит лучу РА; в) точка Р’ принадлежит лучу РВ.

Пусть точка Р’ совпадает с точкой Р. Если Q‘ — точка
луча QC, то Q‘P‘B является объединением углов Q‘PQ и QPB, по­
этому луч h либо лежит внутри угла Q‘P‘Q, либо совпадает с лу­чом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во
втором случаях луч h пересекает отрезок Q‘Q, поэтому пересекает
и луч Q‘Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает
луч QD и, следовательно, луч Q‘D.

Если Q‘ — точка луча QD, то угол Q‘P‘B является частью уг­ла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересе­чения является точкой луча Q‘D, так как h не проходит внутри угла QPQ‘ и поэтому не пересекает отрезок QQ‘.

б) Точка Р’ принадлежит лучу РА. Луч h лежит
внутри угла Q‘P‘P, поэтому h пересекает отрезок PQ‘ в некоторой
точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержа­щую прямую CD, угол ВРМ’, равный углу РР’М. Так как BPQ‘ —
внешний угол треугольника PP‘Q‘, то PP‘Q‘ LBPQ‘, поэтому
РР’М BPQ‘. Отсюда следует, что РМ’ — внутренний луч
угла BPQ‘. Следовательно, по доказанному этот
луч пересекает луч Q‘D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р’М
пересекает сторону PQ‘ треугольника PQ‘M и не пересекает сторо­ну РМ (так как ВРМ₁ = BP‘M), поэтому по аксиоме Паша
прямая Р’М пересекает отрезок Q‘М₁. Таким образом, луч h пересе­кает луч Q‘D. Чтд.

II.3.Теорема о сущест­вовании параллельных прямых.

Теорема: Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ сущест­вует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и па­раллельная прямой АВ, т. е. CD||AB.

Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую MP, перпендикулярную к прямой MN. Мы предполагаем, что точки Р и В лежат по одну сто­рону от прямой MN. По лемме 1 прямые MP и NB не пересе­каются.

Точки отрезка NP разобьем на два класса К₁ и К₂ по следующему закону: к первому классу отнесем те точки X этого отрезка, которые удовлетворяют условию: луч MX пересекает луч NB, а ко второму классу — все остальные точки отрезка NP. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) предложения Дедекинда.

а) Очевидно, N К₁ и Р К₂. Класс К₁ содержит точки, отлич­ные от N, например, точки X пересечения луча МХ₁ с отрезком NP, где
Х₁ — произвольная точка луча NB. Класс K₂ содержит
точки, отличные от Р. В самом деле, по аксиоме Лобачевского существует пря­
мая MS₁, отличная от прямой MP и не пересекающая прямую АВ.
Прямая MS₂, симметричная прямой MS₁ относительно прямой MN, также не пересекает прямую АВ. Одна из прямых MS₁ или MS₂ проходит внутри угла NMP, поэтому пересекает отрезок NP в не­которой точке Y, принадлежащей классу К₂

б) Пусть X — произвольная точка класса К₁, отличная от N, а Y — точка второго класса. Тогда N — X — У, так как в противном случае имеем N — Y — X, что означает, что луч MY — внутренний луч угла NMX. Отсюда следует, что луч MY пересекает отрезок NХ₁ т. е. У К₁.

Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сече­ние. Пусть точка D производит это сечение. Докажем, что D К₂. Предположим противное: D К₁ . Тогда луч MD пересекает луч NB в некоторой точке D₁ (рис. 6). Возьмем на луче NB точку D’₁ так, чтобы N — D₁— D’₁. Луч MD’₁ пересекает отрезок DP в некоторой точке D‘, которая принадлежит классу K₁. Полученный вывод противоречит предложению Дедекинда. Таким образом, D К₂. На прямой MD возьмем точку С так, чтобы С — М — D. По теореме 1 CD||AB.

Остается доказать, что CD — единственная прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. Пусть, напротив, C’D‘ — другая прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. По определению параллельных прямых внутренние лучи углов NMD и NMD‘ пересекают луч NB, поэтому лучи MD, MD‘ лежат в той же полу­плоскости с границей MN, что и луч NB. От­сюда мы приходим к выводу, что, либо MD — внутренний луч угла NMD‘, либо MD‘ — внутренний луч угла NMD.

Но тогда одна из прямых CD или C‘D r пересекает прямую АВ, что противоречит определению параллельности прямых.

3. Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпенди­куляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой а две точки А и В так, чтобы А—N — В. Из предыдущей теоремы следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА.

В ходе доказательства теоремы мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF — различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN FMN, напри­мер DMN FMN. Рассмотрим луч MF‘, симметричный лу­чу MF относительно прямой MN (луч MF‘ не изображен на рис. 7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пере­секает прямую АВ, то и MF‘ не пересекает эту прямую. Но это проти­воречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух раз­ных направлениях. Эти прямые образуют равные острые утлы с пер­пендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относи­тельно прямой а.

Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. На этом рисунке NMD — угол параллельности в точке М от­носительно прямой a, a N ’ M ’ D’ — угол параллельности’ в точке М’

Докажем, что если х = х’, то = ‘. Пусть, напротив, / ,
например а’ . Тогда существует внутренний луч h’ угла N‘M‘D‘,
такой, что угол между лучами M‘N‘ и h равен . Луч h’ пересекает
прямую а’ в некоторой точке F’. На прямой а от точки N отложим
отрезок NF = N‘F ’ так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплос­кости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треуголь­нику M‘N‘F‘. Так

как NMF = , то лучи MD и MF совпадают. Приходим к выводу, что прямые MD и пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, = ’.

Итак, — функция от х: = П (х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геомет­рии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П (х) определена для каждого положительного х и что 0 II (х)

Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функ­ции:

,где k — некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая не­прерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) прини­мает все значения, лежащие между 0 и П/2 . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке от­носительно данной прямой.

В геометрии Лобачевского существует зависи­мость между угловыми и линейными величинами; в этом существен­ное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

II.4.Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

Одними из основных плоских фигур являются треугольник и четырехугольник. Проведем анализ геометрии этих фигур на плоскости Лобачевского.

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также и в геометрии Лобачевского: теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пере­сечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке и др. теоремы.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Пусть ABC— произвольный треугольник. По теореме Саккери — Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) _АВС 2d. Если предполо­жить, что _АВС = 2d, то окажется справедли­вым V постулат, что противоречит аксиоме Лобачевского. Следовательно, _АВС 2d. Ч.т.д.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника мень­ше 4 d..

Пусть ABCD —данный выпуклый четырехугольник. Проведем
диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника
ABC и ADC. Тогда А+В+С+D= _АВС + _ADC. Но _АВС 2d и
_ADC 2d, поэтому А + В + С + D d. Ч.т.д.

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ имеем A = A’
B = B’, C = С’. Докажем сначала, что АВ = A’В’. Пред­положим, что АВ А’В’; для определенности допустим, что АВ А’В’. На лучах АВ и АС возьмем точки В» и С» так, чтобы АВ» = А’В’ и АС» = А’С’. По первому признаку равенст­ва треугольников имеем ∆А»ѻ = ∆А’В’С, поэтому 1 = 2.
По условию 2 = 3, следовательно, 1 = 3. Аналогично уста­навливаем, что 4 = 6.

По предположению АВ А ’ В’ поэтому А — В» — В, т. е. прямая »ѻ пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства 1 = 3 прямые В» С» и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая »ѻ пересекает сторону АС тре­угольника ABC, и значит, А — С» — С. Отсюда следует, что четырехугольник BB ” C”C выпуклый.

Из равенств 1 = 3 и 4 = 6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А’B’. По второму признаку равенства тре­угольников АВС = A’В’С’. Ч.т.д.

Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равны­ми боковыми сторонами называется четырех­угольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С=D и каждый из углов С и D острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD BC, то С D.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ С D, то AD

II.5. Дефект треугольника и многоугольника

Учитывая, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 2d, введем понятие о дефекте треугольника, который равен разности между 2d и суммой углов этого треугольника: DABC=2d-SABC.

Нетрудно видеть, что если отрезок BD разделяет АВС на треугольники ABD и DBC, то DABC=DABD+DDBC.

Для n-угольника дефект вводится как разность между 2d(n-2) и суммой его углов. Если многоугольник разбит ломаными на несколько многоугольников, то дефект полного многоугольника равен сумме дефектов его частей.

III.Практическое применение геометрии Лобачевского.

Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство ch c = ch a ·ch b, где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы этого треугольника, а ch x= (гиперболический косинус).

Воспользуемся моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа
где
так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения.

для вычисления неевклидова расстояния между точками z и w в H 2 , получаем, что

Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы.

1а. Замечание к теореме Пифагора

Н.И.Лобачевским было замечено, что созданная им неевклидова геометрия в бесконечно малом, то есть в первом приближении, совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Проиллюстрируем это на примере теоремы Пифагора. Используя разложение гиперболического косинуса в ряд

получим для теоремы Пифагора соотношение

Исключая теперь члены низшего порядка, приходим к теореме Пифагора евклидовой геометрии:

III.2. Площадь треугольника

Вывод формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского сложен, так как в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии.

Если АВС – треугольник в модели Пуанкре, меры углов А,В и С — α, β и γ соответственно, — мера угла B в треугольнике ABD, а и мера углов B и C в треугольнике BCD. Тогда вследствие этого можно сформулировать теорему

Теорема. Для площади треугольника ABC с углами справедлива формула

Следствие1.Площадь треугольника плоскости Лобачевского ограничена.

Следствие 2.Если дан выпуклый многоугольник с внутренними углами то

III.3.Применение геометрии Лобачевского в математических науках

Сам Н.И. Лобачевский считал, что для выполнения расчетов, связанных с геометрическими свойствами и измерениями в пределах Солнечной системы, будет достаточно евклидовой геометрии. Однако геометрия Лобачевского используется внутри математики, в математическом анализе при отыскании значений интегралов. А.Пуанкаре применил геометрию Лобачевского при построении и развитии автоморфных функций. Но действенность геометрии Лобачевского пришлась на XX век, когда А.А.Фридман открыл приложение к геометрии Лобачевского, которое назвали «пространством Фридмана-Лобачевского».

В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.

Геометрия Лобачевского и, открытая за нею неевклидова геометрия Римана, прочно вошли в современную науку, геометрия Евклида сохраняет свое полное значение в вопросах практики, строительства и техники. Неевклидовы геометрии находят себе применение в некоторых более сложных теоретических и практических вопросах современной математики, физики и технике.

Лобачевский указывал на связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

К сожалению, ученые долго не уделяли должного внимание данной геометрии, видимо потому, что не изучали ее. Поэтому, у меня возник вопрос: «Каким образом знакомят учащихся образовательных школ с Лобачевским и его геометрией?»

III.4.Анализ состава исторической справки о Н.И. Лобачевском в школьном курсе математики

Для анализа состава исторической справки о Н.И. Лобачевском было рассмотрено три учебника геометрии для общеобразовательной школы для учащихся 7 − 9 классов под редакциями Л.С. Атанасяна, А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгина.

В учебнике «Геометрия» для 7-9 классов по ред. Л. С. Атанасяна в §2. п.28 «Аксиома параллельных прямых» о Н.И. Лобачевском упоминается следующее: «огромную роль в решении доказательства пятого постулата сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)».

В учебнике «Геометрия» для 7-9 классов под ред. А. В. Погорелова в п. 37 «Из истории возникновения геометрии» говорится, что «…Аксиома параллельных в отличие от других аксиом не подкрепляется наглядными соображениями. Может быть, поэтому со времен Евклида математики многих стран пытались доказать ее как теорему. Но это никому не удавалось. Наконец, в XIX в. было доказано, что это невозможно сделать. Первым, кто обоснованно высказал это утверждение, был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский».

В учебнике «Геометрия» для 7-9 классов под ред. И.Ф. Шарыгина в §5 «Параллельные прямые и углы» выделяется отдельный подпункт с названием «Лобачевский и история открытия неевклидовой геометрии»

В учебнике «Алгебра» 9 класс под ред. Ю.Н Макарычева и др. в главе I «Квадратичная функция» есть краткая история о Н. И. Лобачевском (1792-1856), в котором говорится, что он русский математик, создатель неевклидовой геометрии, которая изменила представлении о роли аксиоматики в математики и сыграла важную роль в разработке теории относительности. Большой вклад он внес также в математический анализ и алгебру, разработал метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней.

В других учебниках (Алгебра 9 кл. под ред. А.Г. Мордковича и др.; Алгебра под ред. С.М. Никольского и др.) нет никакой информации о Н.И. Лобачевском.

Таким образом, можно утверждать, что геометрии Лобачевского в школьном курсе математики уделяется очень мало внимания. В 8-9 классах, в рамках занятий математического кружка, педагоги знакомят учащихся с историей возникновения неевклидовой геометрии, с простыми задачами из геометрии Лобачевского.

Открытие Лобачевского всколыхнуло умы ученых, как современников, так и последователей великого ученого. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный математик, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений, в области теории вероятности, физики, механики, астрономии. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Геометрия Лобачевского помогает по-другому взглянуть на окружающий мир. Мне близко название, которое дал своему открытию сам Николай Иванович – «Воображаемая геометрия». А ведь на самом деле геометрия Лобачевского удивительна и во многом не соответствует представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Жизнь Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как добиваться поставленной цели. Даже оставшись в одиночестве, он не отступил, продолжал свои исследования. Геометрия Лобачевского способствовала и способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Изучение космического пространства, исследования в области высоких энергий и многое другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.

V.Список использованной литературы

Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. геометрия ч. II . Москва «Просвещение» 1987г.

Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс] /Л. С. Атанасян.—2-е изд., испр. (эл.)2014г..—Электрон –с467

В.Т.Базылев, К.Л.Дуничев. Геометрия ч. II. М: 1975г.

Бокова К. Д., Майоров И. Г., Козлова Д. В., Потапова Н. Ю. Геометрия Лобачевского // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 13-15

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. — М., 1992. — 229 с.

Г.И. Глейзер. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.

Д.Гильберт. Основания геометрии.- М: ГИТТЛ 1948г

Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971г

Каган В.Ф. «Лобачевский и его геометрия», М., 1955- с.303

“Квант” №11, №12 Академик АН СССР А.Д. Александров, Интернет-издания.

Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии, М.,1950г., с.129

Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. — Казань, 1976. — 136 с.

Лаптев Б.Л. Коперник геометрии. — Наука и жизнь, 1976, N5. — С. 38-42.

Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, е история и значение. — М.: Знание (В серии «Новое в жизни, науке и технике», N9). 1976. — 36 с.

ЛОБАЧЕВСКИЙ И XXI ВЕК Материалы Международной студенческой конференции, посвященной 210-летию Казанского университета и Дню математики г. Казань, 28 ноября 2014 года с258

Математика. Все для учителя! № 11 (23) ноябрь 2012с.30-33

Математика XIX века, «Наука», М., 1981.

Норден А.П. Великое открытие Лобачевского. «Квант&quot. 1976. N2.

Нут Ю.Ю. «Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении»,М.,1961г.-с313

Н.Г.Подаева , Д.А. Жук. Лекции по основам геометрии. Елец: 2008г

Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского, МЦМНО, 2004г., с.89

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. — 2-е изд. — М. Главная редакция физико-математической литературы,1983. – с.80

Видео:1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать

Реферат на тему «Геометрия Лобачевского»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Геометрия Лобачевского. Факты геометрии Лобачевского. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому. Пучки прямых и кривых плоскости Лобачевского. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве).

студентка 4 курса

Видео:9. Площадь сферического треугольникаСкачать

Введение

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий , геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия , за исключением аксиомы о параллельных , которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского .

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.

Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии. Она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Видео:Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина КириченкоСкачать

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

1. Геометрия Лобачевского

Геометрия, как наука, впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

«Начала» — величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX века геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные.

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Он сделал попытку дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате: если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой односторонние внутренние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚).

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом, поэтому пятый постулат часто заменяют равносильной аксиомой параллельности: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее.

Попытки доказательства пятого постулата предпринимались в течение более чем двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позже в Западной Европе. Но неудачные попытки прямого доказательства направили ход мыслей ученных в иное русло. Пятый постулат решили заменить противоположным утверждением. Двери в новую геометрию приоткрыли такие ученые, как Джованни Саккери и Иоганн Ламберт, а их работу продолжили уже другие ученые, среди которых был выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Н. И. Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 года в Нижнем Новгороде. Окончил Казанскую гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г. И. Карташевского. В 15 лет поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В это время там читал лекции по математике профессор И. Бартельс (1769-1836). Он обратил внимание на одаренного мальчика и начал заниматься с Лобачевским. В 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, а в 23 года стал профессором. В течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений.

Еще до открытия неевклидовой геометрии Лобачевский написал в 1823г. учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, т.е. аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так рядом с кругом Лобачевский рассматривал шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти одновременно трактует многоугольники и многогранники. Лишь в конце позапрошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал проводить в своих учебных руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма.

Хотя Лобачевский занимался различными вопросами математики, мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Лобачевский был с юношеских лет заинтересован аксиомой параллельных прямых. Сначала он пытался доказать пятый постулат, но постепенно пришел к выводу, что этого сделать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменил его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

В разработанной Лобачевским новой геометрии многие утверждения звучат неожиданно. Вот некоторые из них:

1. Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия.

3. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π.

4. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = r 2 ( π – A – B – C ), где r – радиус кривизны пространства, а A , B , C – величины углов треугольника, выраженные в радианах

Остальные аксиомы Лобачевский оставил без изменения и на основе новой системы построил новую геометрию, отличную от евклидовой.

Можно считать, что неевклидова геометрия родилась в феврале 1826 года. Лобачевский выступил с докладом о своем открытии, но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей. Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы.

Гениальный Гаусс, «король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815 г., за девять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И тем не менее Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликовать свои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностранным членом – корреспондентом Геттингенского учёного общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Видео:3. Постулаты сферической геометрииСкачать

2. Факты геометрии Лобачевского

Ло­ба­чев­ский стро­ил свою гео­мет­рию, от­прав­ля­ясь от ос­нов­ных геометрических по­ня­тий и сво­ей ак­сио­мы, и до­ка­зы­вал тео­ре­мы геометрическим ме­то­дом, по­доб­но то­му как это де­ла­ет­ся в гео­мет­рии Евк­ли­да. Ос­но­вой слу­жи­ла тео­рия па­рал­лель­ных ли­ний, т. к. имен­но здесь на­чи­на­ет­ся от­ли­чие геометрии Лобачевского от гео­мет­рии Евк­ли­да. Все тео­ре­мы, не за­ви­ся­щие от ак­сио­мы о па­рал­лель­ных, об­щи обе­им гео­мет­ри­ям и об­ра­зу­ют т. н. аб­со­лют­ную гео­мет­рию, к ко­то­рой от­но­сят­ся, напр., тео­ре­мы о ра­вен­ст­ве тре­уголь­ни­ков. Вслед за тео­ри­ей па­рал­лель­ных строи­лись др. раз­де­лы, вклю­чая три­го­но­мет­рию и на­ча­ла ана­ли­ти­че­ской и диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рий. Ни­же пе­ре­чис­ле­ны неск. фак­тов геометрии Лобачевского, ус­та­нов­лен­ных са­мим Н. И. Ло­ба­чев­ским, ко­то­рые от­ли­ча­ют её от гео­мет­рии Евк­ли­да. [12]

1) В геометрии Лобачевского не су­ще­ст­ву­ет по­доб­ных, но не рав­ных тре­уголь­ни­ков; тре­уголь­ни­ки рав­ны, ес­ли их уг­лы рав­ны. По­это­му су­ще­ст­ву­ет аб­со­лют­ная еди­ни­ца дли­ны, т. е. от­ре­зок, вы­де­лен­ный по сво­им свой­ст­вам, по­доб­но то­му как пря­мой угол вы­де­лен свои­ми свой­ст­ва­ми. Та­ким от­рез­ком мо­жет слу­жить, напр., сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка с дан­ной сум­мой уг­лов.

2) Сум­ма уг­лов вся­ко­го тре­уголь­ни­ка мень­ше ππ и мо­жет быть сколь угод­но близ­кой к ну­лю. Это вид­но на мо­де­ли Пу­ан­ка­ре. Разность π−(α+β+γ)π−(α+β+γ), где α,β,γα,β,γ – уг­лы тре­уголь­ни­ка, про­пор­цио­наль­на его пло­ща­ди.

3) Че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит бес­ко­неч­но мно­го пря­мых, не пе­ре­се­каю­щих прямую и на­хо­дя­щих­ся с ней в од­ной плос­ко­сти; сре­ди них есть две край­ние, ко­то­рые назы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми пря­мой в смыс­ле Ло­ба­чев­ско­го. В мо­де­лях Клей­на и Пу­ан­ка­ре они изо­бра­жа­ют­ся хор­да­ми (ду­га­ми ок­руж­но­стей), имею­щи­ми с хор­дой (ду­гой) об­щий ко­нец.

4) Ес­ли пря­мые име­ют об­щий пер­пен­ди­ку­ляр, то они бес­ко­неч­но рас­хо­дят­ся в обе сто­ро­ны от не­го. К лю­бой из них мож­но вос­ста­но­вить пер­пен­ди­ку­ля­ры, ко­то­рые не дос­ти­га­ют др. пря­мой.

5) Ли­ния рав­ных рас­стоя­ний от пря­мой есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая эк­ви­ди­стан­той или ги­пер­цик­лом.

6) Пре­дел бес­ко­неч­но рас­ту­щих ок­руж­но­стей есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая пре­дель­ной ок­руж­но­стью или ори­цик­лом.

7) Пре­дел сфер бес­ко­неч­но уве­ли­чи­ваю­ще­гося ра­диу­са есть не плос­кость, а осо­бая по­верх­ность – пре­дель­ная сфе­ра, или ори­сфе­ра; за­ме­ча­тель­но, что на ней име­ет ме­сто евк­ли­до­ва гео­мет­рия. Это по­слу­жи­ло Ло­ба­чев­ско­му ос­но­вой для вы­во­да фор­мул три­го­но­мет­рии.

8) Дли­на ок­руж­но­сти не про­пор­цио­наль­на ра­диу­су, а рас­тёт бы­ст­рее, чем ра­ди­ус.

9) Чем мень­ше об­ласть в про­стран­ст­ве или на плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го, тем мень­ше мет­рические со­от­но­ше­ния в этой об­лас­ти от­ли­ча­ют­ся от со­от­но­ше­ний евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Напр., чем мень­ше тре­уголь­ник, тем мень­ше сум­ма его уг­лов от­ли­ча­ет­ся от π, чем мень­ше ок­руж­ность, тем мень­ше от­но­ше­ние её дли­ны к ра­диу­су от­ли­ча­ет­ся от 2π, и т. п. Умень­ше­ние об­лас­ти фор­маль­но рав­но­силь­но уве­ли­че­нию еди­ни­цы дли­ны, по­это­му при без­гра­нич­ном уве­ли­че­нии еди­ни­цы дли­ны фор­му­лы Л. г. пе­ре­хо­дят в фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Евк­ли­до­ва гео­мет­рия есть в этом смыс­ле «пре­дель­ный» слу­чай гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го.

Видео:#177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)Скачать

3. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому.

В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Непересекающиеся, но не параллельные прямые называются сверхпараллельными прямыми.

Теорема 1. Два перпендикуляра к одной прямой – сверхпараллельны.

Теорема 2. Две сверхпараллельные прямые имеют общий перпендикуляр и притом единственный, он является кратчайшим расстоянием между этими прямыми.

Теорема 3. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы или равные накрест лежащие углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые сверхпараллельны [12].

Видео:Математика это не ИсламСкачать

4. Пучки прямых и кривых на плоскости Лобачевского

Совокупность всех прямых плоскости Лобачевского, пересекающихся в общей точке О, называется пучком прямых первого рода. Точка О называется центром пучка.

Совокупность прямых плоскости Лобачевского, параллельных между собой в одном направлении, называется пучком прямых второго рода. Говорят также, что этот пучок имеет бесконечно удаленный центр.

Совокупность прямых плоскости Лобачевского, перпендикулярных одной прямой а, называется пучком третьего рода. Прямая а называется осью пучка. Говорят, также, что пучок прямых третьего рода имеет идеальный центр.

Множество всех прямых плоскости Лобачевского, проходящих через одну точку, будем называть пучком пересекающихся прямых. Множество всех расходящихся прямых, имеющих один и тот же общий перпендикуляр будем называть пучком расходящихся прямых. И множество всех прямых, параллельных между собой в одном и том же направлении, назовем пучком параллельных прямых. Точка пересечения прямых, принадлежащих пучку пересекающихся прямых, называется его центром. Общий перпендикуляр прямых, принадлежащих пучку расходящихся прямых, носит название его базы.

Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Серединные перпендикуляры сторон треугольника на плоскости Лобачевского принадлежат либо пучку пересекающихся, либо пучку расходящихся, либо пучку параллельных прямых, при этом существуют треугольники, серединные перпендикуляры которых принадлежат каждому из трех типов пучков. [12]

Свойства траекторий пучков

1) Траектория пучка симметрична относительно любой своей оси. Под хордой траектории пучка будем понимать отрезок, соединяющий его две точки.

2) Серединный перпендикуляр к хорде траектории является осью пучка.

3) Пусть АВ – хорда траектории пучка. Тогда прямая АВ образует равные углы с лучами траектории, проведенными в точках А и В.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

5. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве).

После создания неевклидовой геометрии она долгое время не признавалась учеными. И первой, сразу возникшей проблемой, стало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Первые исследования по вопросу непротиворечивости геометрии Лобачевского были проведены итальянским математиком Бельтрами (1835-1900). В 1868г. он построил поверхность в евклидовом пространстве – псевдосферу которая получается вращением трактрисы вокруг оси OZ. Псевдосфера – это поверхность постоянной отрицательной кривизны. [12]

Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского

Анри Пуанкаре в 1882г. построил конформное отображение плоскости Лобачевского на открытую полуплоскость Евклида, тем самым, получив новую модель плоскости Лобачевского.

Роль прямых плоскости Лобачевского (неевклидовых прямых) будут выполнять:

1) евклидовы полупрямые, перпендикулярные прямой l (рис.72) без точки пересечения с l .

2) евклидовы полуокружности, перпендикулярные абсолюту, т.е. с центром на прямой l.

На приведенном ниже рисунке 1 изображены четыре модели геометрии Лобачевского: модель Пуанкаре в верхней полуплоскости, модель Пуанкаре в круге (верхний ряд), модель Клейна (под моделью Пуанкаре в круге) и модель на верхней полусфере. Также в каждой из моделей нарисована кратчайшая сеть, соединяющая три заданных точки, и проведены некоторые дополнительные построения. Соответствие между объектами задано цветом. Так прямые в моделях Пуанкаре (верхний ряд) представляют собой окружности, перпендикулярные так называемому абсолюту – прямой или окружности, ограничивающей модель. В модели Клейна прямые – это прямолинейные хорды. Наконец, в модели верхней полусферы прямые представляют собой параллели, перпендикулярные абсолюту – граничному экватору. [12]

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

1. Применение в повседневной жизни.

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой. Была установлена связь геометрии Лобачевского с физикой, а именно кинематикой – специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство,
выражающее закон распространения света x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 при делении на t 2 , даёт – уравнение сферы в пространстве с координатами v_x , v_y , v_z – составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). [ 6 ] Во-вторых, геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр. [ 7 ]

Интересно применение в игровой индустрии: игра «Жизнь» (модель зарождения жизни во «Вселенной») [ 9 ] или HyperRogue (гибрид паззла и рогалика на гиперболической плоскости). [ 3 ]

Применяется геометрия Лобачевского в живописи. В 2013 году в московском Музее современного искусства прошла выставка Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник-график известен благодаря своим работам, где он использует различные математические понятия, приемы и теории: пределы, ленты Мебиуса, геометрию Лобачевского. Заинтересовали работы-иллюзии и орнаменты. [ 2 ]

В 2015 году в Центральном зале центра дизайна ARTPLAY прошла еще одна не менее интересная выставка «Ван Гог. Ожившие полотна (Van Gogh Alive)». На его картинах отсутствует ровный фон, геометрия вангоговского пространства подчиняется законам, которые только предстояло открыть учёным 19-го столетия. Более того, во время просмотра посетители слушали классическую музыку. [ 1 ]

Использование геометрии Лобачевского в искусстве не ограничивается живописью. Творчество Фрэнка Гери тому доказательство. Он продемонстрировал возможности современных технологий проектирования. Его здания похожи друг на друга словно детали «конструктора из титана», но «мнет и гнет» он их каждый раз по-другому. В этом заключается уникальность дизайна построенных объектов. [ 11 ]

Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) – (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.

Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Приведем побольше примеров:

Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растений, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее. Кстати, если вы помните в прошлом выпуске мы рассказывали о шестиугольниках в природе, так вот, в гиперболической природе альтернативой являются семиугольники, которые также широко распространены

Видео:Неевклидова геометрия. Часть 2. История математикиСкачать

2. Примеры решения задач с помощью геометрии Лобачевского.

Два спутника связи запустили на орбиту. Чтобы понять, пересекаются ли их зоны покрытия, необходимо доказать, что любые две прямые пересекаются.

В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией.

Дано:
сфера(R;О),
две прямые на сфере

Доказать:
любые прямые пересекаются

Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины.

Поэтому её радиус (r) вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать.

Из-за загрязнения окружающей среды и появления озоновых дыр ученые прогнозировали на западном полушарии Земли потепление. Они описали его приблизительные размеры с использованием параллель и меридиан. Найти сумму углов предполагаемой зоны потепления, чтобы в дальнейшем высчитать ее точную площадь.

Найти:
Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.

AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF (как меридианы) => угол β и угол α = 90° =>

ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°.

За последние 5 лет одним из самых крупнейших извержений вулкана было извержение Мерапи на острове Ява. В результате извержения, продолжавшегося около двух недель, потоки лавы распространились на пять километров и преобладал юго-восточный ветер. Найти сумму углов территории, пострадавшей от извержения, чтобы вулканологи смогли высчитать ее площадь.

Дано:
сфера(R;О),
сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми; каждая часть является сферическим треугольником.

Найти:
Сумму углов ABC.

Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°.

В модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости найти радиус (в смысле геометрии Лобачевского) окружности, описанной около треугольника ABC, где A = (2; 6),

Верно ли, что около любого треугольника на плоскости Лобачевского

можно описать окружность? Верно ли это для сферической геометрии?

Нетрудно заметить, что любая окружность в модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости является окружностью и в смысле евклидовой геометрии, но не наоборот. Например, если она пересекает Абсолют (т.е. ось абсцисс) под прямым углом, то она является прямой с точки зрения геометрии Лобачевского. Поэтому, для того, чтобы понять, что в геометрии Лобачевского не около любого треугольника можно описать окружность, достаточно взять какой-нибудь треугольник в верхней полуплоскости, описанная окружность которого выходит за ее пределы.

Легко проверить, что евклидова окружность, описанная около треугольника ABC, задается уравнением:

(x — 7) 2 + (y — 6) 2 = 25;

Очевидно, что она будет также и описанной окружностью с точки зрения геометрии Лобачевского, поскольку она целиком содержится в верхней полуплоскости. Найдем теперь ее центр. Пусть M = (7; 11) и N = (7; 1) — две диаметрально противоположные точки этой окружности, найдем середину O отрезка MN. Естественно выбирать именно этот диаметр рассматриваемой окружности, поскольку в метрики

Лобачевского совсем просто вычисляется расстояние между точками с одинаковой ординатой:

d (( x ₀ ; y ₁ ); ( x ₁ ; y ₂ )) =

Пусть O = (7; y), тогда для радиуса r нашей окружности имеют место равенства:

откуда и, соответственно,

Видео:Three-Point Equidistant ProjectionСкачать

Тесты

В каждом задании выберите один из четырёх вариантов ответа.

1. Авторы неевклидовой геометрии

A. Лобачевский и Я. Больяи

B. Лобачевский, Больяи и Гаусс

C. Ламберт и Гаусс

D. Лобачевский и Ламберт

2. В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника

A. меньше

B. больше

C. больше

D. больше , но меньше

3.В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников:

A. если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

B. две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу ними другого треугольника

C. сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника

D. три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника

4. Выберите свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского:

A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр

B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении

C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении

D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении

5. Выберите свойства свехпараллельных прямых на плоскости Лобачевского:

A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр

B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении

C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении

D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении

6. Если прямые Лобачевского составляют с третьей прямой соответственно равные углы, то прямые

A. прямые параллельны

B. прямые сверхпараллельны

C. прямые пересекаются

D. прямые равноудалены от

7. На плоскости Лобачевского существует

A. три вида пучков прямых: пучок параллельных прямых в заданном направлении; пучок пересекающихся прямых; пучок сверхпараллельных прямых;

B. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок пересекающихся прямых;

C. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок сверхпараллельных прямых;

D. два вида пучков прямых: пучок пересекающихся и пучок сверхпараллельных прямых;

8. Плоскость Лобачевского реализуется в евклидовом пространстве

A. только в модели Пуанкаре на полуплоскости;

B. в модели Пуанкаре в круге, в модели Пуанкаре на полуплоскости; в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;

C. в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;

D. только в модели на псевдосфере;

9. В какой из геометрий верно утверждение: существует прямая линия, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых и параллельная к другой?

A. только в геометрии Евклида

B. только в абсолютной геометрии

C. только в геометрии Лобачевского

D. только в геометрии Римана

10. В какой из геометрий не существует понятия «подобие фигур»?

🔍 Видео

Геометрия ЛобачевскогоСкачать

Неевклидовы геометрии. Чуть-Чуть о Науке #НаукаСкачать

Сферический избыток треугольникаСкачать

Математика 5 класс Неделя 2 Отрезок Длина отрезка Треугольник ПлоскостьСкачать

Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Геометрия ЛобачевскогоСкачать