Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Дан прямоугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MNKL — прямоугольник, подобный исходному.

б) Найдите коэффициент подобия, если косинус угла между диагоналями исходного прямоугольника равен Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

а) Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке P. Из равенства треугольников ABC и BAD следует, что BM = AK. Тогда PM : BM = PK : AK. Отсюда получаем, что треугольники PMK и PAB подобны и прямые MK и AB параллельны, причем MK : AB = PM : PB. Аналогично, BM = CL, поэтому прямые ML и BC параллельны и ML : BC = PM : PB. Итак, стороны четырехугольника LMKN параллельны сторонам прямоугольника ABCD и пропорциональны им. Таким образом, LMKN прямоугольник, подобный прямоугольнику ABCD. Что и требовалось доказать.

б) Без ограничения общности можно считать, что Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcИмеем:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Отсюда Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcПолучаем, что Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcПусть AC = 10x, тогда: AB = 6x, BC = 8x и

Содержание
  1. Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc
  2. Разделы
  3. Дополнительно
  4. Задача по математике — 6666
  5. Задача по математике — 6667
  6. Задача по математике — 6668
  7. Задача по математике — 6669
  8. Задача по математике — 6670
  9. Задача по математике — 6671
  10. Задача по математике — 6672
  11. Задача по математике — 6673
  12. Задача по математике — 6674
  13. Задача по математике — 6675
  14. Задача по математике — 6676
  15. Задача по математике — 6677
  16. Задача по математике — 6678
  17. Задача по математике — 6679
  18. Задача по математике — 6680
  19. Как доказать что четырехугольник вписан в окружность
  20. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  21. Теорема Птолемея
  22. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  23. Следствие 1
  24. Следствие 2
  25. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  26. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  27. Комментарии
  28. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  29. Следствие 1
  30. Следствие 2
  31. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  32. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  33. Комментарии
  34. 📽️ Видео

Видео:3.32.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

3.32.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Разделы Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Видео:16 номер ЕГЭ 2022Скачать

16 номер ЕГЭ 2022

Дополнительно

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Задача по математике — 6666

Окружность, построенная на стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что $ABCD$ — ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону $AB$ в точке $M$, причём $AM:MB=2:1$. Найдите диагональ $AC$, если известно $AD=sqrt$.

Задача по математике — 6667

Медианы $AA_$, $BB_$ и $CC_$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Точки $A_$, $B_$ и $C_$ — середины отрезков $MA$, $MB$ и $MC$ соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_B_C_A_B_C_$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что $AB=4$, $BC=8$ и $AC=10$.

Задача по математике — 6668

Точки $E$, $F$, $G$ и $H$ — середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.
а) Докажите, что отрезки $EG$, $FH$ и $MN$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение площадей четырёхугольников $EMGN$ и $FMHN$, если $AC=BD$, $ACperp BD$, а прямые $MN$ и $FH$ пересекаются под углом $alpha$.

Задача по математике — 6669

Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^$.

Задача по математике — 6670

Через вершину $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания $AD$ в точке $E$.
а) Докажите, что треугольник $DBE$ равновелик трапеции $ABCD$.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.

Задача по математике — 6671

Боковая сторона $CD$ трапеции $ABCD$ равна основанию $AD$.
а) Докажите, что $CA$ — биссектриса угла $BCD$.
б) Прямая, проходящая через вершину $C$ перпендикулярно $CD$, пересекает боковую сторону $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $BM:AM$, если известно, что $AD=CD=2BC$ и $angle ADC=60^$.

Задача по математике — 6672

Прямая, параллельная основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$, а диагонали $AC$ и $BD$ — в точках $K$ и $L$ соответственно, причём точка $K$ лежит между $M$ и $L$.
а) Докажите, что $MK=NL$.
б) Найдите $MN$, если известно, что $BC=a$, $AD=b$ и $MK:KL:LN=1:2:1$.

Задача по математике — 6673

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность, $CH$ — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке $BH$.
б) Найдите диагональ $AC$, если известно, что средняя линия трапеции равна $2sqrt$, а $angle AOD=120^$, где $O$ — центр окружности, вписанной в трапецию, а $AD$ — большее основание.

Задача по математике — 6674

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что $frac=frac$. Найдите отношение $frac$.

Задача по математике — 6675

Стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен $60^$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

Задача по математике — 6676

Точки $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Отрезки $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $frac$.

Задача по математике — 6677

Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром $O$ и радиусом $R$, проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Прямые $OA$ и $MB$ пересекаются в точке $C$. Найдите $OC$, если известно, что отрезок $OM$ делится окружностью пополам.

Задача по математике — 6678

Окружности с центрами $O_$ и $O_$ касаются внешним образом в точке $C$. Прямая касается этих окружностей в различных точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите угол $AO_B$, если известно, что $tgangle ABC=frac$.

Задача по математике — 6679

На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Задача по математике — 6680

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcВписанные четырехугольники и их свойства
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcТеорема Птолемея

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Окружность, описанная около параллелограмма
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc
Окружность, описанная около параллелограмма
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникДан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Докажем, что справедливо равенство:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

откуда вытекает равенство:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Видео:№ 301-400 - Геометрия 8 класс МерзлякСкачать

№ 301-400 - Геометрия 8 класс Мерзляк

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Видео:Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Видео:№ 401-500 - Геометрия 8 класс МерзлякСкачать

№ 401-500 - Геометрия 8 класс Мерзляк

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdcЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Видео:2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

8 класс, 7 урок, Прямоугольник

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Дан прямоугольник abcd окружности вписанные в треугольники abd и bdc

Видео:🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

📽️ Видео

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математике

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=35° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=35° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус
Поделиться или сохранить к себе: