Треугольник по 4 точкам

Четыре замечательные точки треугольника
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Треугольник по 4 точкам

На данном уроке мы рассмотрим четыре замечательные точки треугольника. На двух из них остановимся подробно, вспомним доказательства важных теорем и решим задачу. Остальные две вспомним и охарактеризуем.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Четыре замечательные точки треугольника

Вы будете перенаправлены на Автор24

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Точка пересечения медиан треугольника

О пересечении медиан треуголника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $_1, _1, _1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Треугольник по 4 точкам

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $angle ABB_1=angle BB_1A_1, angle BAA_1=angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Точка пересечения биссектрис треугольника

О пересечении биссектрис треугольника: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM, BP, CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ — точка пересечения биссектрис $AM и BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Треугольник по 4 точкам

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Готовые работы на аналогичную тему

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ, OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Видео:№941. Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N(12; -2), В (5; -9).Скачать

№941. Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N(12; -2), В (5; -9).

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n, m, p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров $n и m$ (рис. 3).

Треугольник по 4 точкам

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC, OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

Точка пересечения высот треугольника

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $_1, _1, _1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Треугольник по 4 точкам

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ — середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ — середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ — середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что $_1bot A_2B_2, _1bot A_2C_2, _1bot C_2B_2$. Следовательно, $_1, _1, _1$ — серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты $_1, _1, _1$ пересекаются в одной точке.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Пример задачи на использование 4 замечательных точек треугольника

Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$ стороны $BC$. Докажите, что

а) точка $D$ — середина стороны $BC$.

б) $angle A=angle B+angle C$

Решение.

Треугольник по 4 точкам

а) По теореме 4, все серединные перпендикуляры пересекаются в точке $D$. Следовательно, $D$ — основание серединного перпендикуляра к стороне $BC$. Значит точка $D$ — середина стороны $BC$.

б) Так как $X$ и $D$ — середины сторон, то $XD$ — средняя линия треугольника. Тогда, по теореме о средней линии треугольника $XD||AC$. Значит,$angle A=angle DXB$, как соответственные углы. Значит, $angle A=^0$. Тогда$angle B+angle C=^0-angle A=^0-^0=^0=angle A$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2021

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Тема: «четыре замечательные точки треугольника»

Треугольник по 4 точкам

ТЕМА: «ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Свойства биссектрисы угла

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

Треугольник по 4 точкам

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка.

Треугольник по 4 точкам

Четыре замечательные точки треугольника

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины;

2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Найдите соответствующие точки, построив указанные элементы треугольника:

1) Треугольник по 4 точкам2) Треугольник по 4 точкам

3) Треугольник по 4 точкам4) Треугольник по 4 точкам

Пример 1. По данным рисунка найдите площадь треугольника BOQ, если QM = 9, BT = 12.

Треугольник по 4 точкам

1) QM, BT – медианы ⇒ QO : OM = BO : OT = 2 : 1 (по свойству медиан треугольника);

2) QO : OM = 2 : 1, QM = 9 ⇒ QO = 2OM, QM = 3OM ⇒

OM = 9 : 3 = 3, QO = 9 – 3 = 6;

3) BO : OT = 2 : 1, BT = 12 ⇒ BO = 2OT, BT = 3OT ⇒

OT = 12 : 3 = 4, BO = 12 – 4 = 8;

4) QM⊥BT ⇒ ΔBOQ – прямоугольный ⇒ SBOQ = Треугольник по 4 точкам Треугольник по 4 точкам(по формуле площади прямоугольного треугольника).

Пример 2. По данным рисунка найдите угол FNO, если угол MKN = 66°.

Треугольник по 4 точкамТреугольник по 4 точкам

1) Продолжим NO до пересечения со стороной КМ. КМ∩NO = Р;

2) О – точка пересечения высот ⇒ NP – высота ΔKMN ⇒ NP⊥КМ ⇒ ΔKPM – прямоугольный;

3) ΔKPM – прямоугольный ⇒ ∠РKN + ∠КNР = 90° (по свойству острых углов прямоугольного треугольника);

∠КNР = 90° — ∠РKN = 90° — 66° = 24°;

Пример 3. По данным рисунка найдите ОК, если RO = 20.

OM, ON – серед. перп.;

Треугольник по 4 точкам

1) О – точка пересечения серединных перпендикуляров ⇒ ОК – серединный перпендикуляр (по свойству серединных перпендикуляров треугольника);

2) ОМ – серединный перпендикуляр ⇒ RO = PO = 20 (свойство серединного перпендикуляра к отрезку);

3) ОК – серединный перпендикуляр ⇒ ΔРОК – прямоугольный ⇒ ОК = Треугольник по 4 точкам Треугольник по 4 точкам(по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30°).

Пример 4. По данным рисунка найти угол МСВ1?

Треугольник по 4 точкамТреугольник по 4 точкам

1) Продлим СМ до пересечения с АВ, АВ∩СС1 = С1,

М – точка пересечения биссектрис треугольника ⇒ СС1 – биссектриса треугольника АВС (по свойству биссектрис треугольника);

2) Рассмотрим ΔАВМ: ∠АМВ + ∠ВАМ + ∠АВМ = 180° ⇒ ∠ВАМ + ∠АВМ = 180° — 128° = 52°;

3) ВВ1, АА1 – биссектрисы ΔАВС ⇒ ∠А = 2∠ВАМ, ∠В = 2∠АВМ;

4) По теореме о сумме углов треугольника: ∠С = 180° — (∠А + ∠В) = 180° — (2∠ВАМ + 2∠АВМ) = 180° — 2(∠ВАМ + ∠АВМ) = 180° — 2 ⋅ 52° = 76°;

5) СС1 – биссектриса ∠С ⇒ ∠МСВ1 = ∠С : 2 = 38°.

💥 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Корнеев С.А. - Комбинаторика и сложность вычислений - 13. Вычисление биномиальных коэффициентовСкачать

Корнеев С.А. - Комбинаторика и сложность вычислений - 13. Вычисление биномиальных коэффициентов

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Линия пересечения плоскостейСкачать

Линия пересечения плоскостей
Поделиться или сохранить к себе: